O campo elétrico no interior de uma esfera não condutora de raio R está radialmente direcionado e tem módulo dado por E=K q r / R^3, onde q é a carga total da esfera (que é uniformemente distribuída) e r é a distância ao centro. (a) Determine o potencial V(r), supondo que V=0 no centro da esfera. (b) Qual é a diferença de potencial elétrico entre um ponto situado na superfície da esfera e um no centro da esfera? Sendo q positivo, qual deles está no potencial mais alto?

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é achar o potencial elétrico dentro de uma esfera carregada (não condutora) sabendo que o campo interno vale
E(r)=K,q,rR^3
com carga total, raio da esfera e a distância ao centro.
Matéria: eletrostática, relação entre campo e potencial
O que vamos precisar:
  • A relação diferencial .
  • Integrar essa relação desde até um genérico.
  • Depois calcular a diferença de potencial entre e .

Passo 2

A teoria básica diz que
E(r)=-dVdr Longrightarrow dV=-E(r),dr
Como queremos V(r)-V(0)=integral0^rdV =integral0^rl[-E(r')r],dr' , fazemos
V(r) =-integral0^rKq,r'R^3,dr' =-KqR^3integral0^rr',dr' =-KqR^3,r^22 =-K,q,r^22,R^3
Substituindo :

Passo 3

Agora a diferença de potencial entre a superfície ( De) e o centro ( ) é
Para , , ou seja, . Logo o centro está com potencial mais alto.

Resposta

(a) (com ).
(b) . Como , o ponto no centro ( ) está num potencial maior que o da superfície ( ).

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