Um foguete possui uma massa inicial de 1200 kg , incluindo 1000 kg de combustível. Esse foguete é ejetado verticalmente a uma velocidade de 4000 m / s. Considerando que aceleração da gravidade não varia substancialmente ) constante 12,5 kg / s, e que o combustível se queima a uma taxa de , determine:
(a) A expressão geral da velocidade do foguete em função do tempo.
(b) A aceleração na partida.
© A aceleração no momento do fim da queima do combustível.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que a questão pede e o que a gente vai usar.
Enunciado resumido: um foguete com massa inicial de kg (sendo kg de combustível) ejeta o gás para baixo a m/s, queima combustível à razão de kg/s. Gravidade constante m/s².
O que queremos:
(a) durante a queima,
(b) aceleração ,
© aceleração em , quando acaba o combustível.
Matéria envolvida: mecânica de massas variáveis (equação do foguete de Tsiolkovsky) e cinemática (relacionar e ).

Passo 2

Primeiro, modelar a massa do foguete ao longo do tempo. Como ele queima m(t)=m0 - dot m,t = 1200 - 12,5,t (válido até tf) kg/s:
áé
Aqui kg/s é a taxa de consumo de massa (ou seja, ).

Passo 3

Aplicamos a equação de Tsiolkovsky com gravidade:
dvdt =;vel(-1mdmdtr);-;g
Explicando:
  • O termo dvdt = ve;12,51200-12,5,t;-;9,8 vem da variação de momento devido ao gás ejetado,
  • O é a desaceleração gravitacional.
Substituindo :

Passo 4

Agora integramos para achar v(t) =integrall(ve12,51200-12,5,t-9,8r),dt .
v(t) = vel(-ln(1200-12,5,t)r)/(-12,5) ;-;9,8,t + C
Fazendo a integral:
v(t) = veln12001200-12,5,t;-;9,8,t
Ajustando constantes e usando (parte do solo sem velocidade inicial):

Passo 5

Para achar a aceleração, é só derivar a(t)=dvdt = ve;12,51200-12,5,t-9,8 ou usar direto a fórmula do passo 3.
a(0) =4000;12,51200-9,8 =4000times12,51200-9,8 approx41,667-9,8 approx31,9;m/s^2
No instante inicial :

Passo 6

O tempo de queima total é a(80) =4000;12,5200-9,8 =4000times12,5200-9,8 =250-9,8 =240,2;m/s^2 s. A massa final é kg.
Em :

Resposta

(a) .
(b) m/s².
© m/s².

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