Um foguete possui uma massa inicial de 1200 kg , incluindo 1000 kg de combustível. Esse foguete é ejetado verticalmente a uma velocidade de
. Considerando que aceleração da gravidade não varia substancialmente
constante
, e que o combustível se queima a uma taxa de
, determine:
(a) A expressão geral da velocidade do foguete em função do tempo.
(b) A aceleração na partida.
© A aceleração no momento do fim da queima do combustível.
(a) A expressão geral da velocidade do foguete em função do tempo.
(b) A aceleração na partida.
© A aceleração no momento do fim da queima do combustível.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que a questão pede e o que a gente vai usar.
Enunciado resumido: um foguete com massa inicial de kg (sendo
kg de combustível) ejeta o gás para baixo a
m/s, queima combustível à razão de
kg/s. Gravidade constante
m/s².
O que queremos:
(a) durante a queima,
(b) aceleração ,
© aceleração em , quando acaba o combustível.
Matéria envolvida: mecânica de massas variáveis (equação do foguete de Tsiolkovsky) e cinemática (relacionar e
).
Enunciado resumido: um foguete com massa inicial de
O que queremos:
(a)
(b) aceleração
© aceleração em
Matéria envolvida: mecânica de massas variáveis (equação do foguete de Tsiolkovsky) e cinemática (relacionar
Passo 2
Primeiro, modelar a massa do foguete ao longo do tempo. Como ele queima
kg/s:
Aqui
kg/s é a taxa de consumo de massa (ou seja,
).
Passo 3
Aplicamos a equação de Tsiolkovsky com gravidade:
Explicando:
- O termo
vem da variação de momento devido ao gás ejetado, - O
é a desaceleração gravitacional.
Substituindo
:
Passo 4
Agora integramos para achar
.
Fazendo a integral:
Ajustando constantes e usando
(parte do solo sem velocidade inicial):
Passo 5
Para achar a aceleração, é só derivar
ou usar direto a fórmula do passo 3.
No instante inicial
:
Passo 6
O tempo de queima total é
s. A massa final é
kg.
Em :
Em
Resposta
(a)
.
(b) m/s².
© m/s².
(b)
©