A produção de biomassa em uma cultura (B) em função da densidade de plantio (D) é dada por B(D)=20+0,5 cdot D-0,01 cdot D^2. Faça um gráfico dessa função, determine a densidade de plantio que maximiza a produção de biomassa e calcule a produção máxima.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a biomassa B em função da densidade de plantio D é dada por
B(D)=20+0,5,D-0,01,D^2
A gente precisa:
  1. desenhar (esboçar) o gráfico dessa função,
  2. descobrir qual valor de D deixa B no máximo,
  3. calcular esse valor máximo de B.
    Isso é cálculo de uma parábola (função quadrática), então vamos usar a forma geral e o conceito de vértice.

Passo 2

Primeiro, como é uma função quadrática com , isso é uma parábola “para baixo” (concavidade para baixo).
– Quando , .
– Se desenhássemos, teríamos algo assim (esboço):

B │ •(25, 26,25)
│ / \
│ / \
20│ •(0, 20) •(50, 20)
└──────────────→ D
0 25 50
Ela intercepta B em 20 no D=0 e D=50, e o pico está no meio, lá em D≈25.

Passo 3

Para achar o vértice da parábola a gente pode usar derivada ou a fórmula direta. Vou fazer pela derivada, que diz onde a inclinação é zero:
B(D)=20+0,5D-0,01D^2 Longrightarrow B'(D)=0,5-0,02D
A condição de máximo é 0,5-0,02D=0 Longrightarrow 0,02D=0,5 Longrightarrow D= 0,50,02=25 , então

Passo 4

Agora que sabemos que o pico é em B(25)=20+0,5cdot25-0,01cdot25^2 =20+12,5-0,01cdot625 =20+12,5-6,25 =26,25 , calculamos a produção máxima:

Resposta

A densidade de plantio que maximiza a produção é (plantas por unidade de área) e a produção máxima de biomassa é .

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