A produção de biomassa em uma cultura (B) em função da densidade de plantio (D) é dada por
. Faça um gráfico dessa função, determine a densidade de plantio que maximiza a produção de biomassa e calcule a produção máxima.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a biomassa B em função da densidade de plantio D é dada por
A gente precisa:
- desenhar (esboçar) o gráfico dessa função,
- descobrir qual valor de D deixa B no máximo,
- calcular esse valor máximo de B.
Isso é cálculo de uma parábola (função quadrática), então vamos usar a forma geral e o conceito de vértice.
Passo 2
Primeiro, como é uma função quadrática
com
, isso é uma parábola “para baixo” (concavidade para baixo).
– Quando ,
.
– Se desenhássemos, teríamos algo assim (esboço):
↑
B │ •(25, 26,25)
│ / \
│ / \
20│ •(0, 20) •(50, 20)
└──────────────→ D
0 25 50
Ela intercepta B em 20 no D=0 e D=50, e o pico está no meio, lá em D≈25.
– Quando
– Se desenhássemos, teríamos algo assim (esboço):
↑
B │ •(25, 26,25)
│ / \
│ / \
20│ •(0, 20) •(50, 20)
└──────────────→ D
0 25 50
Ela intercepta B em 20 no D=0 e D=50, e o pico está no meio, lá em D≈25.
Passo 3
Para achar o vértice da parábola a gente pode usar derivada ou a fórmula direta. Vou fazer pela derivada, que diz onde a inclinação é zero:
A condição de máximo é
, então
Passo 4
Agora que sabemos que o pico é em
, calculamos a produção máxima:
Resposta
A densidade de plantio que maximiza a produção é
(plantas por unidade de área) e a produção máxima de biomassa é
.