Um foguete viaja horizontalmente. O foguete, sem o combustível, e o combustível têm massas e , respectivamente. Para acelerar, o foguete lança o combustível na direção oposta ao seu movimento com uma velocidade relativa , que é constante no tempo. Desconsidere efeitos gravitacionais que podem agir sobre o foguete e o combustível. Suponha que o foguete libere o combustível segundo a expressão , onde é a massa do foguete mais o combustível restante em um tempo qualquer e é o tempo necessário para esvaziar o combustível do foguete. Suponha que é possível esvaziar o foguete em dez minutos quando seu motor é mantido ligado.
Determine a velocidade do foguete em função do tempo.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um foguete que está viajando horizontalmente. Ele tem uma massa sem combustível de e carrega de combustível. Para acelerar, o foguete expulsa o combustível na direção oposta ao seu movimento com uma velocidade relativa constante de . A massa total do foguete mais o combustível em qualquer tempo é dada por , onde é o tempo total necessário para esvaziar o combustível, que neste caso é 10 minutos (ou 600 segundos). Nosso objetivo é determinar a velocidade do foguete em função do tempo, ou seja, .
Passo 2
Primeiro, vamos converter o tempo total de minutos para segundos, porque as unidades de velocidade estão em metros por segundo. Sabemos que:
Passo 3
Agora, vamos lembrar do princípio de conservação da quantidade de movimento, que é essencial para resolver esse tipo de problema. Quando o foguete expulsa o combustível, ele está transferindo momento para o combustível, e, por consequência, ganha momento na direção oposta. A quantidade de movimento () é dada por:
Onde é a massa total no tempo e é a velocidade do foguete no mesmo tempo.
Passo 4
A taxa de variação da quantidade de movimento em relação ao tempo é igual à força resultante agindo sobre o sistema. Como não há outras forças atuando (como a gravidade foi desconsiderada), a força é apenas devido à expulsão do combustível. Então, podemos escrever:
O lado direito da equação representa a força resultante devido à expulsão do combustível.
Passo 5
Vamos reorganizar a equação para isolar :
Mas percebemos que essa abordagem complica um pouco as coisas. Uma maneira mais simples é considerar que a velocidade do foguete aumenta devido à expulsão contínua do combustível.
Passo 6
Vamos utilizar a equação de impulso-momento, que nos diz que a variação da quantidade de movimento do foguete é igual ao impulso fornecido pela força de expulsão do combustível:
Como a força , temos:
Isso nos leva a uma relação mais direta entre massa e velocidade.
Passo 7
No entanto, para resolver isso de forma mais clara, vamos usar a equação do foguete, que relaciona a velocidade do foguete com a variação de massa:
Essa equação nos permite integrar para encontrar .
Passo 8
Sabemos que . Vamos calcular :
Passo 9
Substituindo e na equação da velocidade:
Simplificando:
Passo 10
Agora, vamos integrar em relação ao tempo para encontrar :
A integral do lado direito é:
Então, a velocidade é:
v(t) = 2 vr ln ( 11 - tT ) + C
Como ln ( 1x ) = -ln(x), podemos simplificar para:
v(t) = -2 vr ln (1 - tT) + C
Passo 11
Para encontrar a constante de integração C, consideramos que quando t = 0, a velocidade inicial v(0) = 0. Aplicando isso na equação:
0 = -2 vr ln(1 - 0) + C
Sabemos que ln(1) = 0, então:
0 = 0 + C Rightarrow C = 0
Portanto, a equação da velocidade se simplifica para:
v(t) = -2 vr ln (1 - tT)
Resposta
A velocidade do foguete em função do tempo é dada por: