Um foguete viaja horizontalmente. O foguete, sem o combustível, e o combustível têm massas m=90 kg e mc=10 kg, respectivamente. Para acelerar, o foguete lança o combustível na direção oposta ao seu movimento com uma velocidade relativa vr=10 m / s, que é constante no tempo. Desconsidere efeitos gravitacionais que podem agir sobre o foguete e o combustível. Suponha que o foguete libere o combustível segundo a expressão M(t)=(m+mc)(1-tT)^2, onde M(t) é a massa do foguete mais o combustível restante em um tempo t qualquer e T é o tempo necessário para esvaziar o combustível do foguete. Suponha que é possível esvaziar o foguete em dez minutos quando seu motor é mantido ligado.
Determine a velocidade do foguete em função do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um foguete que está viajando horizontalmente. Ele tem uma massa sem combustível de m = 90, kg e carrega mc = 10, kg de combustível. Para acelerar, o foguete expulsa o combustível na direção oposta ao seu movimento com uma velocidade relativa constante de vr = 10, m/s. A massa total do foguete mais o combustível em qualquer tempo t é dada por M(t) = (m + mc)(1 - tT)^2, onde T é o tempo total necessário para esvaziar o combustível, que neste caso é 10 minutos (ou 600 segundos). Nosso objetivo é determinar a velocidade do foguete em função do tempo, ou seja, v(t).

Passo 2

Primeiro, vamos converter o tempo total T de minutos para segundos, porque as unidades de velocidade estão em metros por segundo. Sabemos que:
T = 10, minutos = 10 times 60, segundos = 600, segundos

Passo 3

Agora, vamos lembrar do princípio de conservação da quantidade de movimento, que é essencial para resolver esse tipo de problema. Quando o foguete expulsa o combustível, ele está transferindo momento para o combustível, e, por consequência, ganha momento na direção oposta. A quantidade de movimento ( p) é dada por:
p = M(t) cdot v(t)
Onde M(t) é a massa total no tempo t e v(t) é a velocidade do foguete no mesmo tempo.

Passo 4

A taxa de variação da quantidade de movimento em relação ao tempo é igual à força resultante agindo sobre o sistema. Como não há outras forças atuando (como a gravidade foi desconsiderada), a força é apenas devido à expulsão do combustível. Então, podemos escrever:
dpdt = M(t) cdot dvdt + v(t) cdot dMdt = -vr cdot dMdt
O lado direito da equação representa a força resultante devido à expulsão do combustível.

Passo 5

Vamos reorganizar a equação para isolar dvdt:
M(t) cdot dvdt = -vr cdot dMdt - v(t) cdot dMdt
dvdt = -vr cdot dMdt - v(t) cdot dMdt M(t)
Mas percebemos que essa abordagem complica um pouco as coisas. Uma maneira mais simples é considerar que a velocidade do foguete aumenta devido à expulsão contínua do combustível.

Passo 6

Vamos utilizar a equação de impulso-momento, que nos diz que a variação da quantidade de movimento do foguete é igual ao impulso fornecido pela força de expulsão do combustível:
De
Como a força F = vr cdot dMdt, temos:
M(t) cdot v(t) = vr cdot M(t)
Isso nos leva a uma relação mais direta entre massa e velocidade.

Passo 7

No entanto, para resolver isso de forma mais clara, vamos usar a equação do foguete, que relaciona a velocidade do foguete com a variação de massa:
dvdt = vrM(t) cdot dMdt
Essa equação nos permite integrar para encontrar v(t).

Passo 8

Sabemos que M(t) = (m + mc)(1 - tT)^2. Vamos calcular dMdt:
dMdt = (m + mc) cdot 2 (1 - tT) cdot ( -1T ) = -2(m + mc)T (1 - tT)

Passo 9

Substituindo M(t) e dMdt na equação da velocidade:
dvdt = vr(m + mc)(1 - tT)^2 cdot ( -2(m + mc)T (1 - tT) )
Simplificando:
dvdt = -2 vrT cdot 1(1 - tT)

Passo 10

Agora, vamos integrar dvdt em relação ao tempo t para encontrar v(t):
integral dv = -2 vrT integral dt1 - tT
A integral do lado direito é:
-2 vrT cdot ( -T ln |1 - tT| ) + C = 2 vr ln |1 - tT| + C
Então, a velocidade é:
v(t) = 2 vr ln ( 11 - tT ) + C
Como ln ( 1x ) = -ln(x), podemos simplificar para:
v(t) = -2 vr ln (1 - tT) + C

Passo 11

Para encontrar a constante de integração C, consideramos que quando t = 0, a velocidade inicial v(0) = 0. Aplicando isso na equação:
0 = -2 vr ln(1 - 0) + C
Sabemos que ln(1) = 0, então:
0 = 0 + C Rightarrow C = 0
Portanto, a equação da velocidade se simplifica para:
v(t) = -2 vr ln (1 - tT)

Resposta

A velocidade do foguete em função do tempo é dada por:
v(t) = -2 vr ln (1 - tT)
Onde:
  • vr = 10, m/s
  • T = 600, s
Substituindo os valores:
v(t) = -20, m/s cdot ln (1 - t600)

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