Um foguete viaja horizontalmente. O foguete, sem o combustível, e o combustível têm massas m=90 kg e mc=10 kg, respectivamente. Para acelerar, o foguete lança o combustível na direção oposta ao seu movimento com uma velocidade relativa vr=10 m / s, que é constante no tempo. Desconsidere efeitos gravitacionais que podem agir sobre o foguete e o combustível. Suponha que o foguete libere o combustível segundo a expressão M(t)=(m+mc)(1-tT)^2, onde M(t) é a massa do foguete mais o combustível restante em um tempo t qualquer e T é o tempo necessário para esvaziar o combustível do foguete. Suponha que é possível esvaziar o foguete em dez minutos quando seu motor é mantido ligado.
Qual é a velocidade do foguete após três minutos? Qual é a razão entre suas velocidades após três e quatro minutos?

Passo 1

Resumo do enunciado: temos um foguete que, sem o combustível, pesa M(t)=(m+mc)l(1- tTr)^2, kg e o combustível pesa kg. Ele joga o combustível para trás com velocidade relativa . A massa total ao longo do tempo é
com min. Queremos a velocidade do foguete em min e a razão entre as velocidades em 3 min e em 4 min.
Conteúdo: dinâmica de foguete (equação de Tsiolkovsky) e conservação de momento. Vamos precisar escrever a conservação de momento num instante, derivar uma equação diferencial para , integrar e depois usar a expressão de .

Passo 2

Teoria e derivação diferencial:
  1. A cada pulinho de tempo, o foguete perde uma massa M,v + dM,(v - vr) = (M + dM)(v + dv), e ganha uma pequena variação de velocidade M,dv = -vr,dM .
  2. Conservação de momento (no sistema foguete+combustível):
dv = -,vr,dMM
onde é a massa ejetada.
3) Expandindo e cancelando dos dois lados, fica
  1. Isolando :

Passo 3

Integração para achar integral0^v(t)!dv = -vrintegralM0^M(t)dMM Longrightarrow v(t) = -vrl[ln Mr]M0^M(t) = vrlnM0M(t) :
Integramos de até e de até :
Aqui kg.

Passo 4

Calculando M(3)=100l(1-tfrac310r)^2 =100cdot(0.7)^2=49 kg, e M(4)=100l(1-tfrac410r)^2 =100cdot(0.6)^2=36 kg . Como min:

Passo 5

Velocidades:
v(3)=vrln10049 =10ln!l(tfrac10049r)approx10cdot0.7133approx7.13 m/s,
v(4)=10ln!l(tfrac10036r)approx10cdot1.0217approx10.22 m/s

Passo 6

Razão entre v(3)v(4) =ln(100/49)ln(100/36) approx0.71331.0217approx0.70 e :

Resposta

Velocidade após 3 min: .
Razão .

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