Um foguete viaja horizontalmente. O foguete, sem o combustível, e o combustível têm massas
e
, respectivamente. Para acelerar, o foguete lança o combustível na direção oposta ao seu movimento com uma velocidade relativa
, que é constante no tempo. Desconsidere efeitos gravitacionais que podem agir sobre o foguete e o combustível. Suponha que o foguete libere o combustível segundo a expressão
, onde
é a massa do foguete mais o combustível restante em um tempo
qualquer e
é o tempo necessário para esvaziar o combustível do foguete. Suponha que é possível esvaziar o foguete em dez minutos quando seu motor é mantido ligado.
Qual é a velocidade do foguete após três minutos? Qual é a razão entre suas velocidades após três e quatro minutos?
Qual é a velocidade do foguete após três minutos? Qual é a razão entre suas velocidades após três e quatro minutos?
Passo 1
Resumo do enunciado: temos um foguete que, sem o combustível, pesa
kg e o combustível pesa
kg. Ele joga o combustível para trás com velocidade relativa
. A massa total ao longo do tempo é
com
min. Queremos a velocidade do foguete em
min e a razão entre as velocidades em 3 min e em 4 min.
Conteúdo: dinâmica de foguete (equação de Tsiolkovsky) e conservação de momento. Vamos precisar escrever a conservação de momento num instante, derivar uma equação diferencial para , integrar e depois usar a expressão de
.
Conteúdo: dinâmica de foguete (equação de Tsiolkovsky) e conservação de momento. Vamos precisar escrever a conservação de momento num instante, derivar uma equação diferencial para
Passo 2
Teoria e derivação diferencial:
- A cada pulinho de tempo, o foguete perde uma massa
e ganha uma pequena variação de velocidade . - Conservação de momento (no sistema foguete+combustível):
onde
é a massa ejetada.
3) Expandindo e cancelando dos dois lados, fica
3) Expandindo e cancelando
- Isolando
:
Passo 3
Integração para achar
:
Integramos de até
e de
até
:
Integramos de
Aqui
kg.
Passo 4
Calculando
e
. Como
min:
Passo 5
Velocidades:
Passo 6
Razão entre
e
:
Resposta
Velocidade após 3 min:
.
Razão .
Razão