(M) Um modelo eletrostático simples para o átomo de Hidrogênio consiste em tratarmos o próton como uma carga puntiforme +e posicionada na origem de um sistema de coordenadas e o elétron como uma esfera maciça de raio a0 (o raio de Bohr), centrada na origem e uniformemente carregada com uma carga -e, representando a nuvem eletrônica.
(a) Determine a densidade volumétrica de carga associada à nuvem eletrônica.
(b) Utilizando a lei de Gauss, determine o campo elétrico produzido pelo átomo a uma distância r da origem. Considere as regiões dentro r=a0 / 2 e fora a0= do átomo.
© Calcule a intensidade do campo em um ponto a uma distância 0.53 times 10^-10 m, k0=9.0 times 10^9 N m^2 / C^2 da origem, sabendo que e=1.6 times 10^-19 C r e .
(d) Faça um gráfico da intensidade do campo como função de .

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem um modelo simplificado do átomo de Hidrogênio: o próton é uma carga pontual + e no centro e o elétron é uma esfera de raio uniformemente carregada com . O que cai aqui é matéria de eletrostática: densidade de carga, Lei de Gauss e campo elétrico em função da distância. Para resolver, vamos precisar de:
  1. definição de densidade volumétrica ,
  2. Lei de Gauss em simetria esférica ( ),
  3. cálculo de carga envolvida até um certo raio,
  4. avaliar a expressão pro campo em e montar o gráfico de .

Passo 2

(a) Densidade volumétrica de carga rho ;=;carga totalvolume ;=; -etfrac43pi a0^3 ;=;-,3e4pi,a0^3, da nuvem eletrônica
A nuvem tem carga total distribuída uniformemente num volume de esfera de raio , que é .
Logo

Passo 3

(b) Campo elétrico Qrm nuvem(r) =rho;l(tfrac43pi r^3r) =-3e4pi a0^3;43pi r^3 =-e,r^3a0^3, usando Lei de Gauss
  1. Para Qrm int(r) =+e ;+;l(-e,r^3a0^3r) =el(1-r^3a0^3r) :
    • A carga do próton é E(r),(4pi r^2) =Qrm int(r)varepsilon0 Longrightarrow E(r) =14pivarepsilon0; el(1-tfracr^3a0^3r)r^2 =k0,er^2l(1-r^3a0^3r) .
    • A carga da parte da nuvem interna a E(r)=0para r>a0 é proporcional ao volume até , ou seja
    • Então a carga total envolvida até é
    • Pela Lei de Gauss, em simetria esférica:
  2. Para :
    • A carga total é do próton mais da nuvem inteira = 0.
    • Logo e

Passo 4

© Intensidade do campo em El(tfraca02r) = k0,e(a0/2)^2l(1-l(tfraca0/2a0r)^3r) = k0,ea0^2/4l(1-tfrac18r) = k0,4ea0^2,78 = k0,7e2,a0^2
Usamos a fórmula de a0=0.53times10^-10, m, k0=9.0times10^9, Ncdot m^2 C^2, e=1.6times10^-19, C :
El(tfraca02r) =7,(9times10^9),(1.6times10^-19)2,(0.53times10^-10)^2 approx 1.8times10^12,N/C
Agora só trocar os valores:

Passo 5

(d) Gráfico de vs.\
  • Para , bem grande (diverge).
  • Conforme cresce até , decai mais rápido porque vem o fator , até chegar em zero em .
  • Para , .
O gráfico é então uma curva decrescente que vai de em a zero em , e depois fica na linha .

Resposta

(a) E(r)= k0,dfracer^2l(1-dfracr^3a0^3r),&r<= a0, 0,&r>a0
(b)
©
(d) decresce de (em ) até 0 (em ), e vale zero para .

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