Foi desenvolvido um novo antivírus e, de forma a testar a sua eficiência, foi instalado num servidor de uma universidade.Com base em observações feitas neste estudo concluíu-se que:
  • 95 % das mensagens infetadas por vírus serão eliminadas;
  • 5 % das mensagens serão erradamente eliminadas.
    Sabendo que 20 % das mensagens que chegam ao referido servidor estão infetadas, determine:
    A probabilidade de uma mensagem estar realmente infetada pelo vírus quando esta é eliminada.

Passo 1

Beleza, vamos ao resumo da parada. A questão é sobre probabilidade condicional (a tal da Regra de Bayes). Disseram que:
  • 20% das mensagens estão infectadas (vamos chamar o evento “I” de “mensagem infectada”),
  • Se a mensagem está infectada, ela é eliminada com probabilidade 95% (evento “E” de “eliminada”),
  • Se a mensagem não está infectada (evento “¬I”), ela é eliminada por engano com probabilidade 5%.
O que a gente quer achar é: “Qual a probabilidade de a mensagem realmente estar infectada dado que ela foi eliminada?” Ou seja, P(I | E).

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a fórmula de Bayes. Para qualquer dois eventos A e B, vale:
P(Amid B) ;=; P(Bmid A),P(A)P(B)
No nosso caso, A = I (infectada) e B = E (eliminada). Então:
P(Imid E) ;=; P(Emid I),P(I)P(E)
Só que a gente não tem P(E) direto, mas sabe que E pode ocorrer se a mensagem for infectada ou se não for infectada. Logo:
P(E) ;=; P(Emid I),P(I);+;P(Emid ,lnot I),P(lnot I)

Passo 3

Agora vamos substituir os números:
  • P(I) = 0.20
  • P(¬I) = 0.80
  • P(E | I) = 0.95
  • P(E | ¬I) = 0.05
Logo:
P(E) = 0.95 times 0.20 ;+; 0.05 times 0.80 = 0.19 ;+; 0.04 = 0.23
E aí, pela fórmula de Bayes:
P(Imid E) = P(Emid I),P(I)P(E) = 0.95 times 0.200.23 = 0.190.23 approx 0.8261

Resposta

A probabilidade de uma mensagem estar realmente infectada dado que ela foi eliminada é aproximadamente
boxed0,8261 (ou 82,61%)

Exercícios relacionados