3^ a ) Foi preciso adicionar um termo vetorial X a uma das equações de Maxwell para que a teoria ficasse consistente. Mostre, por passos lógicos, como achar esse termo X que faltava.
nabla times B=mu0 I+X

Passo 1

O enunciado mostra a forma “incompleta” da lei de Ampère sem o termo de Maxwell, a saber
nabla times B = mu0,J + X
e pede para descobrir qual é X. O conteúdo envolvido é a conservação de carga (equação da continuidade) e a lei de Gauss para o campo elétrico.

Passo 2

Para garantir consistência com a conservação de carga, aplicamos a divergência em ambos os lados de
nabla times B = mu0,J + X
Como nablacdot(nablatimesB)=0, temos
0 = nablacdot(mu0,J) + nablacdotX ;;Longrightarrow;; nablacdotX = -,mu0,nablacdotJ

Passo 3

Mas a equação da continuidade diz
partialrhopartial t + nablacdotJ = 0 ;;Longrightarrow;; nablacdotJ = -,partialrhopartial t
Logo
nablacdotX = mu0,partialrhopartial t

Passo 4

Usamos a lei de Gauss para o campo elétrico, nablacdotE = rho/varepsilon0. Derivando em relação ao tempo:
partialpartial t(nablacdotE) = 1varepsilon0, partialrhopartial t ;;Longrightarrow;; partialrhopartial t = varepsilon0, partialpartial t(nablacdotE)
Assim
nablacdotX = mu0,varepsilon0, partialpartial t(nablacdotE) = nablacdotl(mu0,varepsilon0, partialEpartial tr)

Passo 5

Como podemos escolher X de forma que sua divergência seja a mostrada acima, o menor vetor que faz isso é
X = mu0,varepsilon0, partialEpartial t
Esse é o famoso termo de corrente de deslocamento de Maxwell.

Resposta

X = mu0,varepsilon0, partialEpartial t

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