(a) No ponto (3,0) a função diferenciável f dada por f(x, y)=x^2+y^2 possui a mesma taxa máxima de crescimento que a função g dada por g(x, y)=2 x y ?. Justifique sua resposta.
(b) Determine todos os pontos nos quais a direção de maior variação de função f dada por f(x, y)=x^2+y^2-2 x-4 y é v=(1,1).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) comparar as taxas máximas de crescimento de f(x,y)=x^2+y^2 e de g(x,y)=2xy no ponto (3,0); (b) determinar os pontos onde a direção de maior variação de
f(x,y)=x^2+y^2-2x-4y
é vec v=(1,1). Para isso usamos o conceito de gradiente: a direção de variação mais intensa de uma função diferenciável num ponto é dada pelo gradiente nabla f e a taxa máxima de crescimento é o módulo |nabla f|.

Passo 2

Para (a) calculamos
nabla f(x,y) = (2x,2y), nabla g(x,y) = (2y,2x)
Em (3,0) isso dá
nabla f(3,0) = (6,0), nabla g(3,0) = (0,6),
cujo módulo é
|nabla f(3,0)| = raiz6^2+0^2 = 6, |nabla g(3,0)| = raiz0^2+6^2 = 6
Logo as taxas máximas de crescimento coincidem (ambas valem 6).

Passo 3

Para (b) obtém-se
nabla f(x,y) = (2x-2,;2y-4)
Queremos que a direção de maior variação seja vec v=(1,1), ou seja,
(2x-2,,2y-4) = lambda,(1,1) com lambda>0
Igualando coordenadas vem
2x-2 = lambda, 2y-4 = lambda Longrightarrow 2x-2 = 2y-4 Longrightarrow y = x+1
Como lambda = 2x-2>0, requeremos x>1. Assim todos os pontos da forma (x,x+1) com x>1 satisfazem a condição.

Resposta

(a) Sim. As taxas máximas de crescimento são |nabla f(3,0)|=6 e |nabla g(3,0)|=6.
(b) Todos os pontos (x,x+1) com x>1.

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