Foi realizada uma pesquisa numa indústria X , tendo sido feitas a seus operários apenas duas perguntas. Dos operários, 92 responderam sim à primeira pergunta, 80 responderam sim à segunda. 35 responderam sim a ambas e 33 responderam não a ambas as perguntas feitas. Qual o número de operários da indústria?

Passo 1

O enunciado pergunta quantos operários tem a indústria e fornece as seguintes informações:
\n
Seja:
\n
  • 92 operários responderam “sim” à primeira pergunta;
    \n
  • 80 operários responderam “sim” à segunda pergunta;
    \n
  • 35 operários responderam “sim” a ambas as perguntas;
    \n
  • 33 operários responderam “não” a ambas as perguntas.
    \n
    A pergunta que preciso responder é: qual é o número total de operários da indústria?

Passo 2

Vamos organizar as informações usando conjuntos (isso facilita muito visualizar quem foi contado onde):
\n
  • Seja A o conjunto dos operários que responderam “sim” à primeira pergunta.
    \n
  • Seja B o conjunto dos operários que responderam “sim” à segunda pergunta.
    \n
    Com isso sabemos:
    \n
  • |A| = 92.
    \n
  • |B| = 80.
    \n
  • |A \cap B| = 35 (quem disse “sim” às duas).
    \n
  • O número de operários que disseram “não” às duas perguntas é 33; esses são os que estão fora de A \cup B, ou seja, pertencem ao complemento (A \cup B)^c.

Passo 3

Agora uma mini-aula: princípio da inclusão-exclusão para dois conjuntos.
\n
Quando contamos |A| e |B| separadamente, quem pertence à interseção A \cap B foi contado duas vezes. Para obter o total de elementos que estão em pelo menos um dos conjuntos usamos a fórmula:
\n
|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|
\n
Explicando cada termo:
\n
  • |A \cup B| é o número de operários que responderam “sim” a pelo menos uma das perguntas;
    \n
  • |A| é o número que respondeu “sim” à primeira;
    \n
  • |B| é o número que respondeu “sim” à segunda;
    \n
  • |A \cap B| é o número que respondeu “sim” às duas (subtrai-se para remover a dupla contagem).

Passo 4

Aplicando a fórmula com os números do enunciado para achar quantos disseram “sim” a pelo menos uma pergunta:
\n
|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|
\n
Substituindo:
\n
|A \cup B| = 92 + 80 - 35 = 137.

Passo 5

Relação entre total de operários N, os que disseram “sim” a pelo menos uma e os que disseram “não” a ambas:
\n
Todo operário ou está em A \cup B (pelo menos um “sim”) ou está em (A \cup B)^c (não a ambas). Logo:
\n
N = |A \cup B| + |(A \cup B)^c|.
\n
O enunciado nos deu |(A \cup B)^c| = 33, e do passo anterior temos |A \cup B| = 137. Assim:
\n
N = 137 + 33.

Passo 6

Só falta somar para obter o total de operários. Faça a soma com calma na prova: 137 + 33 — some as unidades e as dezenas separadamente, ou some direto — você chegará ao número total de operários.

Resposta

170

Exercícios relacionados