Foi realizada uma pesquisa numa indústria X , tendo sido feitas a seus operários apenas duas perguntas. Dos operários, 92 responderam sim à primeira pergunta, 80 responderam sim à segunda. 35 responderam sim a ambas e 33 responderam não a ambas as perguntas feitas. Qual o número de operários da indústria?
Passo 1
O enunciado pergunta quantos operários tem a indústria e fornece as seguintes informações:
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Seja:
\n
\n
Seja:
\n
-
operários responderam “sim” à primeira pergunta;
\n -
operários responderam “sim” à segunda pergunta;
\n -
operários responderam “sim” a ambas as perguntas;
\n -
operários responderam “não” a ambas as perguntas.
\n
A pergunta que preciso responder é: qual é o número total de operários da indústria?
Passo 2
Vamos organizar as informações usando conjuntos (isso facilita muito visualizar quem foi contado onde):
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\n
- Seja
o conjunto dos operários que responderam “sim” à primeira pergunta.
\n - Seja
o conjunto dos operários que responderam “sim” à segunda pergunta.
\n
Com isso sabemos:
\n -
.
\n -
.
\n -
(quem disse “sim” às duas).
\n - O número de operários que disseram “não” às duas perguntas é
; esses são os que estão fora de , ou seja, pertencem ao complemento .
Passo 3
Agora uma mini-aula: princípio da inclusão-exclusão para dois conjuntos.
\n
Quando contamos e
separadamente, quem pertence à interseção
foi contado duas vezes. Para obter o total de elementos que estão em pelo menos um dos conjuntos usamos a fórmula:
\n
\n
Quando contamos
\n
\n
Explicando cada termo:
\n
Explicando cada termo:
\n
-
é o número de operários que responderam “sim” a pelo menos uma das perguntas;
\n -
é o número que respondeu “sim” à primeira;
\n -
é o número que respondeu “sim” à segunda;
\n -
é o número que respondeu “sim” às duas (subtrai-se para remover a dupla contagem).
Passo 4
Aplicando a fórmula com os números do enunciado para achar quantos disseram “sim” a pelo menos uma pergunta:
\n
\n
\n
Substituindo:
\n
Substituindo:
\n
Passo 5
Relação entre total de operários
, os que disseram “sim” a pelo menos uma e os que disseram “não” a ambas:
\n
Todo operário ou está em (pelo menos um “sim”) ou está em
(não a ambas). Logo:
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\n
Todo operário ou está em
\n
\n
O enunciado nos deu , e do passo anterior temos
. Assim:
\n
O enunciado nos deu
\n
Passo 6
Só falta somar para obter o total de operários. Faça a soma com calma na prova:
— some as unidades e as dezenas separadamente, ou some direto — você chegará ao número total de operários.