Em uma pesquisa realizada, foram encontrados os seguintes resultados: 60 \% das pessoas entrevistadas fumam a marca A de cigarros; 50 \% fumam a marca B; 45 \% fuma a marca C; 20 \% fumam A e \mathrm{B} ; 30 \% fumam A e \mathrm{C} ; 25 \% fumam B e \mathrm{C} ; 8 \% fumam \mathrm{A}, \mathrm{B} e C . Que porcentagem das pessoas fumam exatamente duas marcas.

Passo 1

O enunciado dá percentuais de pessoas que fumam certas marcas de cigarros e pede a porcentagem que fumam exatamente duas marcas. Dados fornecidos (todos em porcentagem):
P(A)=60\%,\quad P(B)=50\%,\quad P\text{(C)}=45\%,
P(A\cap B)=20\%,\quad P(A\cap C)=30\%,\quad P(B\cap C)=25\%,
P(A\cap B\cap C)=8\%.
A pergunta explícita: “Que porcentagem das pessoas fumam exatamente duas marcas?”

Passo 2

Vamos entender com calma o que significa “exatamente duas marcas”. Quando alguém fuma exatamente duas das marcas A,B,C, essa pessoa está em uma interseção de dois conjuntos, mas não está no terceiro conjunto ao mesmo tempo. Por exemplo, "exatamente A e B" significa estar em A\cap B e simultaneamente não estar em C. Em símbolos:
\text{exatamente }A\text{ e }B = (A\cap B)\setminus C.
Analogamente para os outros pares:
\text{exatamente }A\text{ e }C = (A\cap C)\setminus B,
\text{exatamente }B\text{ e }C = (B\cap C)\setminus A.
Queremos a porcentagem total que pertence a qualquer uma dessas três regiões disjuntas.

Passo 3

Fórmula prática para cada par: a porcentagem que fuma exatamente A e B (mas não C) é a porcentagem de A\cap B menos a porcentagem que fuma as três (porque quem fuma as três está contado em A\cap B mas não deve ser contado como “exatamente duas”):
P\big((A\cap B)\setminus C\big)=P(A\cap B)-P(A\cap B\cap C).
O mesmo vale para os outros pares:
P\big((A\cap C)\setminus B\big)=P(A\cap C)-P(A\cap B\cap C),
P\big((B\cap C)\setminus A\big)=P(B\cap C)-P(A\cap B\cap C).
Essas três regiões são disjuntas (uma pessoa não pode estar simultaneamente em "exatamente A e B" e em "exatamente A e C"), então a porcentagem que fuma exatamente duas marcas é a soma dessas três quantidades.

Passo 4

Agora aplicamos os números dados. Primeiro calcule cada parcela “exatamente dois” subtraindo o triplo:
P\big((A\cap B)\setminus C\big)=P(A\cap B)-P(A\cap B\cap C)=20\%-8\%=12\%.
P\big((A\cap C)\setminus B\big)=P(A\cap C)-P(A\cap B\cap C)=30\%-8\%=22\%.
P\big((B\cap C)\setminus A\big)=P(B\cap C)-P(A\cap B\cap C)=25\%-8\%=17\%.

Passo 5

Somamos as três parcelas para obter a porcentagem total que fuma exatamente duas marcas:
\text{exatamente duas} = 12\% + 22\% + 17\% = 51\%.

Passo 6

Interpretação concreta (jeito amigo de visualizar): pense em uma amostra de 100 pessoas — os percentuais se tornam números inteiros. Então teríamos 8 pessoas que fumam as três marcas; dessas, quando contamos 20 que fumam A e B, 8 já eram das três, sobrando 12 que fumam só A e B. Repetindo para os outros pares obtemos 22 e 17. Somando dá 51 pessoas em 100, ou seja 51\%. Isso ajuda na prova: transformar percentuais em contagem de 100 facilita o raciocínio.

Resposta

51\%

Exercícios relacionados