Questão 3 - Determine a constante c de modo que a seguinte função seja uma função de probabilidade:
f(x)=\left\{\begin{array}{l} c x-0,5, \quad x=0,1,2,3 \\\\ 0, \quad \text { caso contrário } \end{array}\right.á
( \mathrm{c}=0,5 )

Passo 1

O enunciado pede para determinar a constante \,c\,\) de modo que a função \[f(x)=\begin{cases} c x - 0,5, & x=0,1,2,3,\\\\ 0, & \text{caso contrário} \end{cases}
seja uma função de probabilidade. Informações relevantes dadas:
  • A função está definida (potencialmente não nula) somente parax\in{0,1,2,3}.
  • Para cada um dessesx,f(x)=c x - 0,5.
]
As perguntas implícitas são: qual \,c\,\] faz com que \(f seja uma função de probabilidade? (isto é, satisfaz as condições necessárias de uma distribuição discreta).

Passo 2

Explicando o que é preciso checar (a teoria mastigada):
Uma função f definida em um conjunto discreto é uma função de probabilidade (massa de probabilidade) se e somente se satisfaz duas condições:
  1. Não-negatividade:
f(x)\ge 0\quad\text{para todo }x\text{ no suporte.}
Isto significa que nenhuma probabilidade pode ser negativa — probabilidades são números reais maiores ou iguais a zero.
  1. Normalização (soma das probabilidades igual a 1):
\sum_{x\in\text{suporte}} f(x)=1.
No nosso caso o suporte é \{0,1,2,3\}, então devemos ter \sum_{x=0}^{3} f(x)=1.
Na prova você normalmente aplica primeiro a condição de normalização para achar c (quando possível) e depois verifica a não-negatividade para esse c. Também convém verificar se existe alguma condição imediata de não-negatividade independente de c.

Passo 3

Aplicando a condição de normalização. Calculamos a soma das probabilidades em \{0,1,2,3\}:
\sum_{x=0}^{3} f(x)=\sum_{x=0}^{3} (c x - 0,5).
Quebrando a soma em duas partes:
\sum_{x=0}^{3} (c x - 0,5)=c\sum_{x=0}^{3} x - 0,5\sum_{x=0}^{3} 1.
Agora calculamos as somas numéricas:
\sum_{x=0}^{3} x = 0+1+2+3 = 6,
\sum_{x=0}^{3} 1 = 4.
Substituindo:
\sum_{x=0}^{3} f(x)=c\cdot 6 - 0,5\cdot 4 = 6c - 2.
Impondo a normalização \sum_{x=0}^{3} f(x)=1, obtemos a equação:
6c - 2 = 1.
Resolvendo para c:
6c = 3 \quad\Rightarrow\quad c = \frac{3}{6} = 0{,}5.

Passo 4

Verificando a condição de não-negatividade para o valor obtido \,c=0{,}5.
Calculamos cada f(x) para x=0,1,2,3:
  • Para x=0:
f(0) = c\cdot 0 - 0{,}5 = -0{,}5.
  • Para x=1:
f(1) = c\cdot 1 - 0{,}5 = 0{,}5 - 0{,}5 = 0.
  • Para x=2:
f(2) = c\cdot 2 - 0{,}5 = 1{,}0 - 0{,}5 = 0{,}5.
  • Para x=3:
f(3) = c\cdot 3 - 0{,}5 = 1{,}5 - 0{,}5 = 1{,}0.
Note que com c=0{,}5 a soma é
f(0)+f(1)+f(2)+f(3) = -0{,}5 + 0 + 0{,}5 + 1{,}0 = 1,
portanto a normalização fica satisfeita. Porém observe cuidadosamente: f(0)=-0{,}5<0, ou seja existe uma probabilidade negativa, o que é proibido.

Passo 5

Conclusão lógica e rápida: a não-negatividade deve valer para todo x do suporte. Mas aqui
f(0)=c\cdot 0 - 0{,}5 = -0{,}5
não depende de c e é sempre negativo. Isso significa que não existe nenhum valor de c que torne f(0)\ge 0. Logo não existe nenhum valor de c que satisfaça simultaneamente as duas condições necessárias para f ser uma função de probabilidade.
Comentário amigo e prático: na hora da prova, sempre verifique primeiro se alguma das probabilidades é independente da constante (como aqui f(0)) — isso pode eliminar candidatos rapidamente. Mesmo que a normalização dê um c bonitinho, a não-negatividade pode falhar e aí não vale.

Resposta

Não existe valor de \,c\, que torne f uma função de probabilidade.

Exercícios relacionados