Questão 3 - Determine a constante c de modo que a seguinte função seja uma função de probabilidade:
f(x)=\left\{\begin{array}{l} c x-0,5, \quad x=0,1,2,3 \\\\ 0, \quad \text { caso contrário } \end{array}\right.
( \mathrm{c}=0,5 )
Passo 1
O enunciado pede para determinar a constante \,c\,\) de modo que a função
\[f(x)=\begin{cases} c x - 0,5, & x=0,1,2,3,\\\\ 0, & \text{caso contrário} \end{cases}
seja uma função de probabilidade. Informações relevantes dadas:
•A função está definida (potencialmente não nula) somente parax\in{0,1,2,3}.
•Para cada um dessesx,f(x)=c x - 0,5.
]
As perguntas implícitas são: qual \,c\,\] faz com que \(f seja uma função de probabilidade? (isto é, satisfaz as condições necessárias de uma distribuição discreta).
Passo 2
Explicando o que é preciso checar (a teoria mastigada):
Uma função f definida em um conjunto discreto é uma função de probabilidade (massa de probabilidade) se e somente se satisfaz duas condições:
Não-negatividade:
f(x)\ge 0\quad\text{para todo }x\text{ no suporte.}
Isto significa que nenhuma probabilidade pode ser negativa — probabilidades são números reais maiores ou iguais a zero.
Normalização (soma das probabilidades igual a 1):
\sum_{x\in\text{suporte}} f(x)=1.
No nosso caso o suporte é \{0,1,2,3\}, então devemos ter \sum_{x=0}^{3} f(x)=1.
Na prova você normalmente aplica primeiro a condição de normalização para achar c (quando possível) e depois verifica a não-negatividade para esse c. Também convém verificar se existe alguma condição imediata de não-negatividade independente de c.
Passo 3
Aplicando a condição de normalização. Calculamos a soma das probabilidades em \{0,1,2,3\}:
\sum_{x=0}^{3} f(x)=\sum_{x=0}^{3} (c x - 0,5).
Quebrando a soma em duas partes:
\sum_{x=0}^{3} (c x - 0,5)=c\sum_{x=0}^{3} x - 0,5\sum_{x=0}^{3} 1.
portanto a normalização fica satisfeita. Porém observe cuidadosamente: f(0)=-0{,}5<0, ou seja existe uma probabilidade negativa, o que é proibido.
Passo 5
Conclusão lógica e rápida: a não-negatividade deve valer para todo x do suporte. Mas aqui
f(0)=c\cdot 0 - 0{,}5 = -0{,}5
não depende de c e é sempre negativo. Isso significa que não existe nenhum valor de c que torne f(0)\ge 0. Logo não existe nenhum valor de c que satisfaça simultaneamente as duas condições necessárias para f ser uma função de probabilidade.
Comentário amigo e prático: na hora da prova, sempre verifique primeiro se alguma das probabilidades é independente da constante (como aqui f(0)) — isso pode eliminar candidatos rapidamente. Mesmo que a normalização dê um c bonitinho, a não-negatividade pode falhar e aí não vale.
Resposta
Não existe valor de \,c\, que torne f uma função de probabilidade.