Uma folha de metal quadrada tem dimensões
. Uma das arestas é mantida a temperatura
, e as outras três arestas são mantidas a temperatura
Determine a distribuição de temperatura estacionária
em qualquer ponto da folha.
Determine a distribuição de temperatura estacionária
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos uma folha de metal quadrada com lados de comprimento
. Uma das arestas está com a temperatura dada por
, e as outras três arestas estão mantidas a
. Nosso objetivo é descobrir como a temperatura está distribuída em qualquer ponto dessa folha quando ela está em equilíbrio, ou seja, na distribuição de temperatura estacionária
.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de Equações de Laplace e separação de variáveis, que são métodos usados para encontrar soluções em problemas de distribuição estacionária de calor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a distribuição de temperatura estacionária em uma placa metálica sem fontes internas de calor é governada pela Equação de Laplace:
Isso significa que a soma das segundas derivadas parciais de
em relação a
e
é zero.
Passo 3
Agora, para resolver essa equação, usamos o método de separação de variáveis. Assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de
e outra que depende só de
:
Passo 4
Substituindo
na Equação de Laplace, temos:
Dividindo ambos os lados por
, fica:
Isso nos leva a duas equações separadas iguais a uma constante negativa, digamos
:
Passo 5
Resolvendo as equações diferenciais resultantes:
Para
:
A solução geral é:
Para
:
A solução geral é:
Passo 6
Aplicamos as condições de contorno para determinar os coeficientes. Sabemos que três das arestas estão a
e uma aresta tem temperatura
.
Usando séries de Fourier, expandimos a condição de contorno não homogênea em termos das funções próprias da solução homogênea.
Passo 7
Após aplicar as condições de contorno e resolver para os coeficientes utilizando a ortogonalidade das funções trigonométricas, obtemos a série de Fourier que representa a distribuição de temperatura.
Resposta
A distribuição de temperatura estacionária na folha é dada por: