Uma folha de metal quadrada tem dimensões pi times pi. Uma das arestas é mantida a temperatura f(x)=(seny)^circ C, e as outras três arestas são mantidas a temperatura 0^circ C
Determine a distribuição de temperatura estacionária u(x, y) em qualquer ponto da folha.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos uma folha de metal quadrada com lados de comprimento pi. Uma das arestas está com a temperatura dada por f(x) = (sin y)^circ C, e as outras três arestas estão mantidas a 0^circ C. Nosso objetivo é descobrir como a temperatura está distribuída em qualquer ponto dessa folha quando ela está em equilíbrio, ou seja, na distribuição de temperatura estacionária u(x, y).
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de Equações de Laplace e separação de variáveis, que são métodos usados para encontrar soluções em problemas de distribuição estacionária de calor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a distribuição de temperatura estacionária em uma placa metálica sem fontes internas de calor é governada pela Equação de Laplace:
partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 = 0
Isso significa que a soma das segundas derivadas parciais de u em relação a x e y é zero.

Passo 3

Agora, para resolver essa equação, usamos o método de separação de variáveis. Assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de x e outra que depende só de y:
u(x, y) = X(x)Y(y)

Passo 4

Substituindo u(x, y) = X(x)Y(y) na Equação de Laplace, temos:
X''(x)Y(y) + X(x)Y''(y) = 0
Dividindo ambos os lados por X(x)Y(y), fica:
X''(x)X(x) + Y''(y)Y(y) = 0
Isso nos leva a duas equações separadas iguais a uma constante negativa, digamos -k^2:
X''(x)X(x) = -k^2 e Y''(y)Y(y) = k^2

Passo 5

Resolvendo as equações diferenciais resultantes:
Para X(x):
X''(x) + k^2 X(x) = 0
A solução geral é:
X(x) = A cos(kx) + B sin(kx)
Para Y(y):
Y''(y) - k^2 Y(y) = 0
A solução geral é:
Y(y) = C e^ky + D e^-ky

Passo 6

Aplicamos as condições de contorno para determinar os coeficientes. Sabemos que três das arestas estão a 0^circ C e uma aresta tem temperatura f(x) = sin y.
Usando séries de Fourier, expandimos a condição de contorno não homogênea em termos das funções próprias da solução homogênea.

Passo 7

Após aplicar as condições de contorno e resolver para os coeficientes utilizando a ortogonalidade das funções trigonométricas, obtemos a série de Fourier que representa a distribuição de temperatura.

Resposta

A distribuição de temperatura estacionária na folha é dada por:
u(x, y) = sumn=1^infty 4 sin(n)n sinh(npi) sinh(ny) sin(nx)

Exercícios relacionados