1. Uma onda estacionária, em uma corda tensionada e fixa nas extremidades, tem comprimento 6,0 \mathrm{~m}. i) Esboce o terceiro e quarto harmonicos na corda; ii) determine o comprimento de onda e a frequencia do terceiro e quarto harmonicos sabendo que a velocidade da onda transversal é 60 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado considera uma corda fixa em ambas as extremidades de comprimento L=6,0\\ \mathrm{m} e velocidade de onda v=60\\ \mathrm{m/s}. Pede-se:
  1. esboçar o terceiro e o quarto harmônicos;
  2. determinar o comprimento de onda \lambda e a frequência f desses dois harmônicos.

Passo 2

Para uma corda fixa em ambas as extremidades, os harmônicos satisfazem
L = n\,\frac{\lambda_n}{2},
onde n é a ordem do harmônico.
Dessa relação segue
\lambda_n = \frac{2L}{n} \quad\text{e}\quad f_n = \frac{v}{\lambda_n}.

Passo 3

No terceiro harmônico n=3:
\lambda_3 = \frac{2L}{3} = \frac{2\cdot6,0}{3} = 4,0\\ \mathrm{m},
f_3 = \frac{v}{\lambda_3} = \frac{60}{4,0} = 15\\ \mathrm{Hz}.

Passo 4

No quarto harmônico n=4:
\lambda_4 = \frac{2L}{4} = \frac{2\cdot6,0}{4} = 3,0\\ \mathrm{m},
f_4 = \frac{v}{\lambda_4} = \frac{60}{3,0} = 20\\ \mathrm{Hz}.

Passo 5

Esboço qualitativo dos harmônicos:
Para n=3 (terceiro harmônico) a corda é dividida em 3 meias-ondas de comprimento \lambda_3/2=2,0\\ \mathrm{m}. Há nós em
x=0,\;2,\;4,\;6\\ \mathrm{m},
com cristas e vales alternados entre esses nós.
Para n=4 (quarto harmônico) a corda é dividida em 4 meias-ondas de comprimento \lambda_4/2=1,5\\ \mathrm{m}. Há nós em
x=0,\;1{,}5,\;3{,}0,\;4{,}5,\;6{,}0\\ \mathrm{m},
também com cristas e vales alternados.

Resposta

\lambda_3 = 4,0\\ \mathrm{m},\quad f_3 = 15\\ \mathrm{Hz} \lambda_4 = 3,0\\ \mathrm{m},\quad f_4 = 20\\ \mathrm{Hz}

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