1. Um satélite de massa m=679,3 \mathrm{~kg} descreve uma órbita circular a uma altura de 90 km sobre a superficie do planeta P de raio 160 km e massa M. i) Determine a velocidade do satélite nessa órbita. ii) Se o satélite perde, subitamente, 12,5% da sua velocidade, com que velocidade atingirá a superfície do planeta?
    Considere o produto \mathrm{G} \cdot \mathrm{M}=4,0 \times 10^{5} \mathrm{~km}^{3} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá um satélite de massa m=679,3\:\mathrm{kg} em órbita circular a h=90\:\mathrm{km} acima da superfície de um planeta de raio R=160\:\mathrm{km} e pede:
i) a velocidade orbital;
ii) a velocidade com que atinge a superfície se, no ponto mais alto, perder subitamente 12,5 % da sua velocidade.
Vamos usar a fórmula da velocidade em órbita circular e, depois da redução de velocidade, aplicar conservação da energia mecânica entre o ponto de liberação e a superfície.

Passo 2

Primeiro calculamos o raio da órbita:
r_1 = R + h = 160 + 90 = 250\:\mathrm{km}.
A velocidade em órbita circular é
v_1 = \sqrt{\frac{GM}{r_1}}.
Substituindo GM=4{,}0\times10^5\:\mathrm{km^3/s^2} e r_1=250\:\mathrm{km}:
v_1 = \sqrt{\frac{4{,}0\times10^5}{250}} = \sqrt{1600} = 40\:\mathrm{km/s}.

Passo 3

Se o satélite perde 12,5 % de v_1, a nova velocidade no ponto de liberação é
v_2 = (1-0,125)\,v_1 = 0,875\times40 = 35\:\mathrm{km/s}.

Passo 4

Entre o ponto de liberação (raio r_1) e a superfície (raio r_2=R=160\:\mathrm{km}) a energia mecânica por unidade de massa se conserva:
\frac{1}{2}v_2^2 - \frac{GM}{r_1} = \frac{1}{2}v_f^2 - \frac{GM}{r_2}.
Rearranjando para v_f:
v_f^2 = v_2^2 + 2GM\Bigl(\frac{1}{r_2}-\frac{1}{r_1}\Bigr).

Passo 5

Calculamos a diferença de potencial:
2GM\Bigl(\frac{1}{r_2}-\frac{1}{r_1}\Bigr) = 2\times4{,}0\times10^5 \Bigl(\frac{1}{160}-\frac{1}{250}\Bigr).
Como \frac{1}{160}-\frac{1}{250}=\frac{90}{160\cdot250}=0,00225, vem
2GM\Bigl(\dots\Bigr)=8{,}0\times10^5\times0,00225=1800.
Então
v_f^2 = 35^2 + 1800 = 1225 + 1800 = 3025,
v_f = \sqrt{3025} = 55\:\mathrm{km/s}.

Resposta

i) 40\:\mathrm{km/s}
ii) 55\:\mathrm{km/s}

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