Suponha que a temperatura em um ponto (x, y, z) em um corpo seja u(x, y, z). Então, o fluxo de calor é definido como o campo vetorial
F=-K nabla u,
onde K é a constante de condutividade da substância. A taxa de transmissão de calor através da superfície S no corpo é dada pela integral de superfície
integral duplaS F cdot d S=-K integral duplaS nabla u cdot d S
Determine a taxa de transmissão de calor para dentro da superfície cilíndrica dada por y^2+z^2=6,0 <= x <= 4, se a temperatura de uma substância com conditividade K=6,5 é u(x, y, z)=2 y^2+2 z^2.

Passo 1

Estamos lidando com o fluxo de calor definido por F=-K,nabla u, onde u(x,y,z)=2y^2+2z^2 e K=6,5. Queremos a taxa de transmissão de calor através da superfície cilíndrica y^2+z^2=6, 0<= x<=4, considerando o fluxo que entra no cilindro. Para isso, vamos precisar calcular o gradiente de u, montar o vetor F, parametrizar a superfície, obter o vetor normal e integrar Fcdot dS.

Passo 2

Calcular o gradiente de u:
[\nabla u=\Bigl(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial z}\Bigr)=(0,4y,4z).]
Formar o fluxo de calor:
[\mathbf{F}=-K,\nabla u=(0,-4K,y,-4K,z).]\n

Passo 3

Parametrizar a superfície cilíndrica e obter o vetor normal externo:
[ y=raiz6costheta,z=raiz6sintheta,0<= x<=4,0<=theta<=2pi,\quad n_{\rm out}=(0,\cos\theta,\sin\theta),\quad dS=\sqrt6,d\theta,dx.]\n

Passo 4

Calcular Fcdot nrm out e o elemento de área:
[\mathbf{F}\cdot n_{\rm out}=(0,-4K\sqrt6\cos\theta,-4K\sqrt6\sin\theta)\cdot(0,\cos\theta,\sin\theta)=-4K\sqrt6.]
Multiplicando por dS:
[\mathbf{F}\cdot n_{\rm out},dS=(-4K\sqrt6)(\sqrt6,d\theta,dx)=-24K,d\theta,dx.]

Passo 5

Integrar sobre x e theta:
[\iint_S\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\int_{x=0}4\int_{\theta=0}{2\pi}(-24K),d\theta,dx=-24K,(4)(2\pi)=-192\pi K.]
Esse valor é o fluxo para fora. Como queremos o fluxo para dentro do cilindro, invertemos o sinal, obtendo +192pi K.
Substituindo K=6,5 temos:
[192\pi\times6{,}5=1248\pi.]

Resposta

A taxa de transmissão de calor para dentro da superfície cilíndrica é 1248pi (unidades de calor por tempo).

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