Suponha que a temperatura em um ponto em um corpo seja . Então, o fluxo de calor é definido como o campo vetorial
onde é a constante de condutividade da substância. A taxa de transmissão de calor através da superfície no corpo é dada pela integral de superfície
Determine a taxa de transmissão de calor para dentro da superfície cilíndrica dada por , se a temperatura de uma substância com conditividade é .
Passo 1
Estamos lidando com o fluxo de calor definido por , onde e . Queremos a taxa de transmissão de calor através da superfície cilíndrica , , considerando o fluxo que entra no cilindro. Para isso, vamos precisar calcular o gradiente de , montar o vetor , parametrizar a superfície, obter o vetor normal e integrar .
Passo 2
Calcular o gradiente de :
[\nabla u=\Bigl(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial z}\Bigr)=(0,4y,4z).]
Formar o fluxo de calor:
[\mathbf{F}=-K,\nabla u=(0,-4K,y,-4K,z).]\n
Passo 3
Parametrizar a superfície cilíndrica e obter o vetor normal externo:
[\quad n_{\rm out}=(0,\cos\theta,\sin\theta),\quad dS=\sqrt6,d\theta,dx.]\n
Passo 4
Calcular Fcdot nrm out e o elemento de área:
[\mathbf{F}\cdot n_{\rm out}=(0,-4K\sqrt6\cos\theta,-4K\sqrt6\sin\theta)\cdot(0,\cos\theta,\sin\theta)=-4K\sqrt6.]
Multiplicando por dS:
[\mathbf{F}\cdot n_{\rm out},dS=(-4K\sqrt6)(\sqrt6,d\theta,dx)=-24K,d\theta,dx.]
Passo 5
Integrar sobre x e theta:
[\iint_S\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\int_{x=0}4\int_{\theta=0}{2\pi}(-24K),d\theta,dx=-24K,(4)(2\pi)=-192\pi K.]
Esse valor é o fluxo para fora. Como queremos o fluxo para dentro do cilindro, invertemos o sinal, obtendo +192pi K.
Substituindo K=6,5 temos:
[192\pi\times6{,}5=1248\pi.]
Resposta
A taxa de transmissão de calor para dentro da superfície cilíndrica é 1248pi (unidades de calor por tempo).