A folium de Descartes é dada pela equação
.
(a) Encontre
usando a derivação implícita para a curva folium de Descartes.
(a) Encontre
Passo 1
A gente tem a folium de Descartes dada por 2x³ + 2y³ − 9xy = 0; o conteúdo é derivação implícita, onde vamos usar regra da cadeia para y(x) e regra do produto para xy.
Passo 2
Começo derivando cada termo em relação a x. A derivada de 2x³ é 6x²; a de 2y³, pela regra da cadeia, é 6y²·y′; e a de −9xy, pela regra do produto, é −9(x·y)′.
Passo 3
Aplico a regra do produto em (x·y)′: temos (x·y)′ = x·y′ + y·1, ou seja, x
y′ + y.
y′ + y.
Passo 4
Substituo tudo na derivada da equação e igualo a zero: 6x² + 6y²
y′ −9(x
y′ + y) = 0; distribuo o −9 para quebrar o parêntese.
Depois de expandir, fica 6x² + 6y²
y′ −9x
y′ −9y = 0. Agrupo os termos com y′ de um lado e os demais do outro. Isolo y′: (6y² −9x)
y′ = 9y −6x². Divido ambos os lados por (6y² −9x) para obter y′. Chego à forma simplificada e fatoro 3 no numerador e no denominador, resultando em (3y −2x²)/(2y² −3x).
y′ −9(x
y′ + y) = 0; distribuo o −9 para quebrar o parêntese.
Depois de expandir, fica 6x² + 6y²
y′ −9x
y′ −9y = 0. Agrupo os termos com y′ de um lado e os demais do outro. Isolo y′: (6y² −9x)
y′ = 9y −6x². Divido ambos os lados por (6y² −9x) para obter y′. Chego à forma simplificada e fatoro 3 no numerador e no denominador, resultando em (3y −2x²)/(2y² −3x).