Seja f: R longrightarrow Im(f) diferenciável em R, tal que f(1)=2, f(2)=3 f^prime(1)=5 / 2, f^prime(2)=3 e f^prime(x) <= 103 forall x in R.
(b) Mostre que f(3) <= 193 utilizando corretamente o TVM.

Passo 1

A questão pede para mostrar que, sendo f diferenciável em R, com f(2)=3 e sabendo que f'(x)<=10/3 para todo x, então f(3)<=19/3. Vamos usar o Teorema do Valor Médio (TVM).

Passo 2

Como f é diferenciável em [2,3], o TVM garante a existência de um ponto cin(2,3) tal que
f'(c)=f(3)-f(2)3-2

Passo 3

Pela hipótese temos f'(c)<=10/3. Substituindo f(2)=3 na expressão acima, obtemos
f(3)-31=f(3)-3<=103

Passo 4

Dessa desigualdade segue que
f(3)<=3+103=193

Resposta

f(3)<=tfrac193.

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