Uma fonte injeta um elétron de 1,2 times 10^7 m / s em uma região onde existe um campo magnético uniforme de módulo B=1,0 times 10^-3 T. A velocidade do elétron faz um ângulo theta=10^circ com a direção do campo magnético. Determine a distância d entre o ponto de injeção e o ponto onde o elétron cruza novamente a linha de campo que passa pelo ponto de injeção.

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem um elétron que entra num campo magnético uniforme com velocidade
v = 1,2times10^7;m/s,
o campo tem módulo
B = 1,0times10^-3; T
e a velocidade faz um ângulo
theta = 10^circ
com a direção do campo.
Conteúdo: movimento de carga em campo magnético (força de Lorentz), decomposição de velocidade em componentes paralela e perpendicular, movimento circular (para a componente perpendicular) e helicoidal.
O que a gente vai precisar:
  1. Separar em e (usando seno e cosseno).
  2. Calcular o período do movimento circular da componente perpendicular.
  3. Ver que a distância ao longo da direção do campo em uma volta é .

Passo 2

Primeiro, decompor a velocidade:
  • Componente paralela (ao campo): vparal<=l = vcostheta
  • Componente perpendicular (ao campo): vperp = vsintheta
Aqui a ideia é a gente usar trigonometria básica: se a velocidade forma ângulo com a direção do campo,
projeta na direção do campo e projeta na direção perpendicular.

Passo 3

Na direção perpendicular, o elétron sofre força magnética que faz ele girar em círculo. A força centrípeta é
F = q,vperp,B = m,vperp^2r,
de onde surge o raio da órbita circular
r = m,vperpqB
O período dessa volta (tempo para fazer 360°) é
T = 2pi rvperp = 2pivperp;m,vperpqB = 2pi mqB
Repara que não depende de explicitamente no final: é o famoso período ciclotrônico.

Passo 4

O elétron também se desloca ao longo do campo (com velocidade d = vparal<=l,T ) enquanto gira. Numa volta completa, a distância percorrida paralela ao campo é
vparal<=l = vcostheta e T = 2pi mqB,
Substituindo
d = vcostheta;2pi mqB
a gente tem
T = 2pi,(9,11times10^-31)(1,60times10^-19)(1,0times10^-3) approx 3,57times10^-8; s
Agora é só colocar os números:
  • vparal<=l = 1,2times10^7 times 0,9848 approx 1,18times10^7;m/s
  • d = vparal<=l,T approx (1,18times10^7),(3,57times10^-8) approx 0,42;m
Calculando o período:
E a componente paralela:
Portanto

Resposta

A distância boxed0,42;m entre o ponto de injeção e o próximo cruzamento da mesma linha de campo é aproximadamente

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