Uma fonte injeta um elétron de velocidade v=1,5 \times 10^{7} \mathrm{m} / \mathrm{s} em uma região onde existe um campo magnético uniforme de módulo B=0,6 \times 10^{-3} \mathrm{~T}. A velocidade do elétron faz um ângulo \theta=8^{\circ} com a direção do campo magnético. Determine a distância d entre o ponto de injeção e o ponto em que o elétron cruza novamente a linha de campo que passa pelo ponto de injeção. Expresse sua resposta em metros.
\begin{array}{llll}\text { (a) } 0,21 & \text { (b) } 0,43 & \text { \text{(c)} } 0,63 & \text { (d) } 0,89\end{array} (e) 1,18

Passo 1

O enunciado nos dá um elétron de massa m e carga q lançado com velocidade v fazendo um ângulo \theta em relação a um campo magnético uniforme \mathbf{B}. A trajetória é uma hélice: em cada volta circular ao redor de \mathbf{B} ele avança ao longo da direção do campo. Queremos a distância d ao longo de \mathbf{B} entre a injeção e o instante em que ele cruza de novo a linha de campo inicial (ou seja, a “pitch” da hélice). Para isso vamos
  1. decompor v em componentes paralela e perpendicular a \mathbf{B},
  2. calcular o período do movimento circular (ciclotron),
  3. multiplicar o deslocamento paralelo pelo período.

Passo 2

A decomposição da velocidade em relação ao campo é
v_{\parallel} = v\,\cos\theta, \qquad v_{\perp} = v\,\sin\theta.

Passo 3

O período do movimento circular (ciclotron) no plano perpendicular vale
T \;=\;\frac{2\pi\,m}{|q|\,B}.

Passo 4

Esse período é o tempo que o elétron dá uma volta completa em torno de \mathbf{B}. Nesse tempo, o deslocamento ao longo de \mathbf{B} é
d \;=\; v_{\parallel}\,T \;=\; v\,\cos\theta\;\frac{2\pi\,m}{|q|\,B}.

Passo 5

Substituindo os valores m=9{,}11\times10^{-31}\,\mathrm{kg}, |q|=1{,}60\times10^{-19}\,\mathrm{C}, v=1{,}5\times10^{7}\,\mathrm{m/s}, \theta=8^\circ e B=0{,}6\times10^{-3}\,\mathrm{T}, temos primeiro
v_{\parallel}=1{,}5\times10^7\cos8^\circ\approx1{,}485\times10^7\,\mathrm{m/s},
T=\frac{2\pi\cdot9{,}11\times10^{-31}}{1{,}60\times10^{-19}\cdot0{,}6\times10^{-3}} \approx5{,}96\times10^{-8}\,\mathrm{s},
d=1{,}485\times10^7\;\times\;5{,}96\times10^{-8} \approx0{,}89\,\mathrm{m}.

Resposta

(d) 0,89 m

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