Uma fonte de luz move-se perpendicularmente à linha de visão de um detector. A velocidade da fonte é de 0,662 c. Com que velocidade uma fonte idêntica deve se mover em uma direção a 75,0^{\circ} da linha de visão se os deslocamentos Doppler registrados pelo detector para as duas fontes são iguais?

Passo 1

O enunciado dá duas fontes de luz idênticas e pede que seus deslocamentos Doppler relatados pelo detector sejam iguais. Uma fonte move-se perpendicularmente à linha de visão com velocidade \beta_{1} = 0,662 (onde \beta = v/c). A outra deve mover-se num ângulo de \theta = 75,0^\circ em relação à linha de visão, com velocidade \beta_{2}, de modo que o fator de Doppler seja o mesmo. O conteúdo aqui é o efeito Doppler relativístico, que envolve dilatação do tempo e projeção da velocidade na linha de visão.

Passo 2

A fórmula geral para o desvio Doppler relativístico de uma fonte que se afasta (ou se aproxima) com velocidade \beta formando ângulo \theta com a linha de visão é
\frac{\nu_{\rm obs}}{\nu_{0}} = \frac{\sqrt{1 - \beta^{2}}}{1 - \beta \cos\theta}\,.

Passo 3

Para a fonte movendo-se perpendicularmente ( \theta=90^\circ), temos \cos90^\circ=0. Logo
\frac{\nu_{\rm obs}}{\nu_{0}} = \sqrt{1 - \beta_{1}^{2}}
com \beta_{1}=0,662. Calculando numericamente
A \equiv \sqrt{1 - \beta_{1}^{2}} = \sqrt{1 - (0,662)^{2}} \approx 0,7495.

Passo 4

Para a segunda fonte, movendo-se a \theta=75,0^\circ com velocidade \beta_{2}, o mesmo fator de Doppler A satisfaz
A = \frac{\sqrt{1 - \beta_{2}^{2}}}{1 - \beta_{2}\cos75^\circ}\,.

Passo 5

Elevando ao quadrado e reorganizando, obtemos
A^{2}\,(1 - \beta_{2}\cos75^\circ)^{2} = 1 - \beta_{2}^{2}\,.
Expansão e coleta de termos em \beta_{2} levam a uma equação quadrática da forma
1{,}03762\,\beta_{2}^{2} - 0{,}2910\,\beta_{2} - 0{,}43826 = 0,
cuja solução física positiva é
\beta_{2} \approx 0,805.

Resposta

A fonte deve mover-se com velocidade aproximadamente
v \approx 0,805\,c.

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