Uma fonte de ondas sonoras de 1200 Hz de freqüência move-se para a direita à velocidade de 29,87 \mathrm{~m} / \mathrm{s} em relação ao solo. À sua direita existe uma superficie refletora movendo-se para a esquerda com uma velocidade de 65,84 \mathrm{~m} / \mathrm{s} em relação ao solo. Considere a velocidade do sam no ar como sendo de 329,18 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e calcule: (a) o comprimento de onda do som emitido no ar pela fonte; (b) o número de ondas por segundo que chegam à superficie refletora; (c) a velocidade das ondas refletidas e (d) o comprimento de onda das ondas refletidas.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (todos relativos ao solo/ao ar):
  • Frequência da fonte: f_s=1200\\ \mathrm{Hz}.
  • Velocidade da fonte (para a direita): v_s=29,87\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
  • Velocidade da superfície refletora (para a esquerda): v_r=65,84\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
  • Velocidade do som no ar: v=329,18\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
O que o enunciado pede:
(a) o comprimento de onda do som emitido no ar pela fonte (na direção para a direita, onde está a superfície refletora);
(b) o número de ondas por segundo que chegam à superfície refletora (ou seja, a frequência com que a superfície é atingida pelas cristas);
(c) a velocidade das ondas refletidas;
(d) o comprimento de onda das ondas refletidas (após a reflexão, no ar).

Passo 2

Entendendo a relação entre período, velocidade e comprimento de onda quando a fonte está em movimento (aula rápida e prática).
  • A fonte emite crests com período T=\dfrac{1}{f_s}.
  • Durante T uma crista viaja no ar a uma distância v\,T, enquanto a fonte se desloca uma distância v_s\,T na mesma direção (para a direita).
  • Portanto o espaçamento entre crestas à frente da fonte (ou seja, o comprimento de onda na direção da direita) é a diferença:
\lambda_{\text{emitida}}=vT - v_sT=(v-v_s)T=\frac{v-v_s}{f_s}.
Nesta fórmula:
  • v é a velocidade do som no ar;
  • v_s é a velocidade da fonte na mesma direção da emissão;
  • f_s é a frequência emitida pela fonte.
    Agora calculamos numericamente:
v-v_s=329,18-29,87=299,31\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
\lambda_{\text{emitida}}=\frac{299,31}{1200}=0,249425\\ \mathrm{m}.
Arredondando razoavelmente: \lambda_{\text{emitida}}\approx0,2494\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Número de ondas por segundo que chegam à superfície refletora (frequência incidente sobre a superfície).
  • A superfície refletora está se movendo em direção à fonte, então ela “encontra” as cristas mais rapidamente. Usamos a fórmula geral do efeito Doppler para observador móvel e fonte móvel, para a frequência percebida pelo observador:
f_{\text{inc}}=\frac{v+v_o}{\,v-v_s\,}\;f_s,
onde:
  • v_o é a velocidade do observador (aqui a superfície) em direção à fonte (valor positivo se se move para a fonte);
  • v_s é a velocidade da fonte em direção ao observador (valor positivo se se move para o observador).
    No nosso caso ambos se movem um para o outro, então usamos v_o=65,84\\ \mathrm{m}/\mathrm{s} e v_s=29,87\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}. Calculamos passo a passo:
v+v_o=329,18+65,84=395,02\\ \mathrm{m}/\mathrm{s},
v-v_s=329,18-29,87=299,31\\ \mathrm{m}/\mathrm{s},
\frac{v+v_o}{v-v_s}=\frac{395,02}{299,31}\approx1,31963.
f_{\text{inc}}=1,31963\times1200\approx1583,55\\ \mathrm{Hz}.
Isso significa que chegam à superfície refletora aproximadamente 1583,55 ondas por segundo.

Passo 4

Velocidade das ondas refletidas.
  • Importante conceito: a velocidade de propagação das ondas sonoras no ar depende do meio (ar) e não da fonte ou do refletor. Assim, após reflexão as ondas continuam a propagar-se no ar com a mesma velocidade do som relativa ao ar (em módulo).
  • Portanto a velocidade das ondas refletidas é igual a v=329,18\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}. Direção: agora as ondas refletidas vão para a esquerda (de volta em direção à fonte).

Passo 5

Comprimento de onda das ondas refletidas.
  • A reflexão por uma superfície móvel pode ser vista como um processo em duas etapas: a superfície recebe ondas com frequência f_{\text{inc}} (calculada no Passo 3) e, no referencial da superfície, reemite (reflete) com a mesma frequência que recebeu. Porém, como a superfície se move, ela age como uma fonte móvel que emite ondas no ar.
  • Para uma fonte móvel que emite ondas na direção de seu movimento, o comprimento de onda na frente é
\lambda_{\text{emit, fonte móvel}}=\frac{v-v_{\text{fonte}}}{f_{\text{fonte}}},ó
onde v_{\text{fonte}} é a velocidade da fonte na mesma direção da emissão. No nosso caso a “fonte” após reflexão é a superfície, ela está se movendo para a esquerda com velocidade v_r=65,84\\ \mathrm{m}/\mathrm{s} e emite (reflete) ondas para a esquerda — a emissão tem a mesma direção do movimento da superfície. Assim:
\lambda_{\text{refletida}}=\frac{v-v_r}{f_{\text{inc}}}.
Calculamos numericamente:
v-v_r=329,18-65,84=263,34\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
Usando f_{\text{inc}}\approx1583,55\\ \mathrm{Hz}:
\lambda_{\text{refletida} }=\frac{263,34}{1583,55}\approx0,16633\\ \mathrm{m}.
Arredondando: \lambda_{\text{refletida}}\approx0,1663\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) \lambda_{\text{emitida}}\approx0,2494\\ \mathrm{m}
(b) f_{\text{inc}}\approx1583,55\\ \mathrm{Hz}
(c) v_{\text{refletida}}=329,18\\ \mathrm{m}/\mathrm{s} (para a esquerda)
(d) \lambda_{\text{refletida}}\approx0,1663\\ \mathrm{m}

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