Um submarino desloca-se para o norte à velocidade de 75 \mathrm{~km} / \mathrm{h} em relação ao fundo do mar e emite um sinal de sonar (ondas de som na água usadas de maneira semelhante ao radar) de freqüência igual a 1000 Hz . Se o mar, nesta posição, tem uma corrente que se desloca para o norte a 30 \mathrm{~km} / \mathrm{h} em relação à praia, qual é a freqüência observada por um navio ao norte do submarino cujas máquinas estão paradas? (Sugestão. Todas as velocidades nas Equações de Doppler devem ser consideradas em relação ao meio.)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Submarino: velocidade em relação ao fundo do mar (isto é, em relação à praia) v_{\text{sub,shore}}=+75\\ \mathrm{km/h} (o sinal + indica “para o norte”).
  • Emissão: frequência emitida f=1000\\ \mathrm{Hz}.
  • Corrente do mar (meio): velocidade em relação à praia v_{\text{meio,shore}}=+30\\ \mathrm{km/h} (para o norte).
  • Navio ao norte do submarino: máquinas paradas, então velocidade em relação à praia v_{\text{navio,shore}}=0.
  • Pergunta: qual a frequência observada pelo navio?
Observação importante que o enunciado dá como sugestão: todas as velocidades nas equações de Doppler devem ser tomadas em relação ao meio (água). Vou seguir isso.

Passo 2

Vou obter as velocidades do observador (navio) e da fonte (submarino) em relação ao meio.
  • Velocidade do submarino em relação ao meio:
v_s = v_{\text{sub,shore}} - v_{\text{meio,shore}} = 75 - 30 = 45\\ \mathrm{km/h}.
Isto significa que, relativamente à água, o submarino se move para o norte a 45\\ \mathrm{km/h}.
  • Velocidade do navio em relação ao meio:
v_o = v_{\text{navio,shore}} - v_{\text{meio,shore}} = 0 - 30 = -30\\ \mathrm{km/h}.
O sinal negativo indica que, relativamente à água, o navio se desloca para o sul à velocidade 30\\ \mathrm{km/h} (isto acontece porque a água está fluindo para o norte a 30\\ \mathrm{km/h} enquanto o navio está parado em relação à praia). Como o navio fica ao norte do submarino, mover-se para o sul significa mover-se em direção à fonte — ou seja, o observador está efetivamente se aproximando da fonte.
Para usar a fórmula do Doppler de forma clara, uso as magnitudes de velocidade na direção “um em direção ao outro”:
u_o = 30\\ \mathrm{km/h}\quad\text{(velocidade do observador em relação ao meio, em direção à fonte)},çãçãà
u_s = 45\\ \mathrm{km/h}\quad\text{(velocidade da fonte em relação ao meio, em direção ao observador)}.çãçã

Passo 3

Vou escrever a fórmula do efeito Doppler para som no meio estacionário (água), explicando cada símbolo.
Para ondas sonoras em um meio, quando a velocidade do observador relativa ao meio é u_o (positiva se o observador se move na direção da fonte) e a velocidade da fonte relativa ao meio é u_s (positiva se a fonte se move na direção do observador), a frequência observada f' é
f' = f\;\frac{c+u_o}{c-u_s},
onde
  • f é a frequência emitida pela fonte (aqui 1000\\ \mathrm{Hz}),
  • c é a velocidade do som no meio (água),
  • u_o é a velocidade do observador relativa ao meio, positiva se se aproxima da fonte,
  • u_s é a velocidade da fonte relativa ao meio, positiva se se aproxima do observador.
Explicação rápida do porquê desta fórmula (sem provar): se o observador se aproxima da fonte ele intercepta frentes de onda mais rapidamente (aumenta a frequência percebida, fator c+u_o); se a fonte se aproxima do observador ela comprime as frentes de onda (diminuindo o comprimento de onda efetivo, daí o denominador c-u_s).

Passo 4

Converter as velocidades em m/s e escolher c.
  • Conversão: 1\\ \mathrm{km/h} = \dfrac{1}{3{,}6}\\ \mathrm{m/s}.
u_o = 30\\ \mathrm{km/h} = \frac{30}{3{,}6}=8{,}333\ldots\\ \mathrm{m/s}.
u_s = 45\\ \mathrm{km/h} = \frac{45}{3{,}6}=12{,}5\\ \mathrm{m/s}.
  • Velocidade do som na água: é padrão tomar aproximadamente c=1500\\ \mathrm{m/s} (valor típico para água do mar). Vou usar esse valor, que é muito maior que as velocidades das embarcações, mas suficiente para obter o desvio Doppler correto.

Passo 5

Agora aplico a fórmula com os números:
f' = 1000\\ \mathrm{Hz}\cdot\frac{1500 + 8{,}333\ldots}{1500 - 12{,}5}.
Calculo passo a passo:
1500 + 8{,}333\ldots = 1508{,}333\ldots
1500 - 12{,}5 = 1487{,}5
\frac{1508{,}333\ldots}{1487{,}5}\approx 1{,}0140
f' \approx 1000 \times 1{,}0140 \approx 1014{,}0\\ \mathrm{Hz}.
A frequência observada pelo navio é aproximadamente 1014\\ \mathrm{Hz}. O aumento é pequeno porque u_o e u_s são muito pequenos comparados a c.

Passo 6

Interpretação curta e incentivo: o navio receberá um som um pouco mais agudo do que o emitido, cerca de 14\\ \mathrm{Hz} acima de 1000\\ \mathrm{Hz}. Está tudo certo com os sinais: ambos (fonte e observador) se aproximam um do outro em relação à água, daí a frequência aumenta. Bom trabalho — já fizemos a parte chata das conversões; na prova, lembre-se: sempre reduzir tudo à referência do meio antes de aplicar a fórmula de Doppler.

Resposta

1014\\ \mathrm{Hz} (aproximadamente)

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