Um submarino desloca-se para o norte à velocidade de
em relação ao fundo do mar e emite um sinal de sonar (ondas de som na água usadas de maneira semelhante ao radar) de freqüência igual a 1000 Hz . Se o mar, nesta posição, tem uma corrente que se desloca para o norte a
em relação à praia, qual é a freqüência observada por um navio ao norte do submarino cujas máquinas estão paradas? (Sugestão. Todas as velocidades nas Equações de Doppler devem ser consideradas em relação ao meio.)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Submarino: velocidade em relação ao fundo do mar (isto é, em relação à praia)
(o sinal indica “para o norte”). - Emissão: frequência emitida
. - Corrente do mar (meio): velocidade em relação à praia
(para o norte). - Navio ao norte do submarino: máquinas paradas, então velocidade em relação à praia
. - Pergunta: qual a frequência observada pelo navio?
Observação importante que o enunciado dá como sugestão: todas as velocidades nas equações de Doppler devem ser tomadas em relação ao meio (água). Vou seguir isso.
Passo 2
Vou obter as velocidades do observador (navio) e da fonte (submarino) em relação ao meio.
- Velocidade do submarino em relação ao meio:
Isto significa que, relativamente à água, o submarino se move para o norte a
.
- Velocidade do navio em relação ao meio:
O sinal negativo indica que, relativamente à água, o navio se desloca para o sul à velocidade
(isto acontece porque a água está fluindo para o norte a
enquanto o navio está parado em relação à praia). Como o navio fica ao norte do submarino, mover-se para o sul significa mover-se em direção à fonte — ou seja, o observador está efetivamente se aproximando da fonte.
Para usar a fórmula do Doppler de forma clara, uso as magnitudes de velocidade na direção “um em direção ao outro”:
Passo 3
Vou escrever a fórmula do efeito Doppler para som no meio estacionário (água), explicando cada símbolo.
Para ondas sonoras em um meio, quando a velocidade do observador relativa ao meio é
(positiva se o observador se move na direção da fonte) e a velocidade da fonte relativa ao meio é
(positiva se a fonte se move na direção do observador), a frequência observada
é
onde
-
é a frequência emitida pela fonte (aqui ), -
é a velocidade do som no meio (água), -
é a velocidade do observador relativa ao meio, positiva se se aproxima da fonte, -
é a velocidade da fonte relativa ao meio, positiva se se aproxima do observador.
Explicação rápida do porquê desta fórmula (sem provar): se o observador se aproxima da fonte ele intercepta frentes de onda mais rapidamente (aumenta a frequência percebida, fator
); se a fonte se aproxima do observador ela comprime as frentes de onda (diminuindo o comprimento de onda efetivo, daí o denominador
).
Passo 4
Converter as velocidades em m/s e escolher
.
- Conversão:
.
- Velocidade do som na água: é padrão tomar aproximadamente
(valor típico para água do mar). Vou usar esse valor, que é muito maior que as velocidades das embarcações, mas suficiente para obter o desvio Doppler correto.
Passo 5
Agora aplico a fórmula com os números:
Calculo passo a passo:
A frequência observada pelo navio é aproximadamente
. O aumento é pequeno porque
e
são muito pequenos comparados a
.
Passo 6
Interpretação curta e incentivo: o navio receberá um som um pouco mais agudo do que o emitido, cerca de
acima de
. Está tudo certo com os sinais: ambos (fonte e observador) se aproximam um do outro em relação à água, daí a frequência aumenta. Bom trabalho — já fizemos a parte chata das conversões; na prova, lembre-se: sempre reduzir tudo à referência do meio antes de aplicar a fórmula de Doppler.