Dois trens deslocam-se, um em direção ao outro, a 30,48 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \mathrm{em} relação ao solo. Um dos trens apita a 500 Hz .
Qual a freqüência que será ouvida no outro trem se o vento estiver soprando a \mathbf{3 0 , 4 8 ~ m} \boldsymbol{/} \mathbf{s} de encontro ao apito?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta:
  • Dado: um trem emite um apito com frequência \,f=500\\ \mathrm{Hz}.
  • Dado: os dois trens deslocam-se um em direção ao outro com velocidade em relação ao solo \,30,48\\ \mathrm{m/s} (assumimos que tanto o emissor quanto o receptor têm essa mesma velocidade em módulo, em sentidos opostos).
  • Dado: há vento soprando com velocidade \,30,48\\ \mathrm{m/s} “de encontro ao apito”.
  • Pergunta: qual a frequência que será ouvida no outro trem?
Observação importante (decisão de interpretação que não vou pedir para confirmar): vou adotar a interpretação natural de “vento de encontro ao apito” como sendo vento que sopra do lado do ouvinte em direção ao apito (isto é, o vento vai do receptor para a fonte), ou seja, o vento tem direção contrária ao sentido de propagação do som. Explico o porquê desta escolha e como ela afeta os sinais nas contas nos passos seguintes.

Passo 2

Que físico usar e qual fórmula? Aqui entra o efeito Doppler para som em meio em movimento (vento). Regra-prática e muito usada:
f' = f \cdot \frac{c + v_{\text{o,ar}}}{\,c - v_{\text{s,ar}}\,},
onde:
  • \,f é a frequência emitida pela fonte (aqui \,500\\ \mathrm{Hz});
  • \,f' é a frequência ouvida pelo observador (o que queremos);
  • \,c é a velocidade do som no ar em repouso (vou usar \,c=343\\ \mathrm{m/s}, valor padrão a 20^\circ\mathrm{C});
  • \,v_{\text{o,ar}} é a velocidade do observador relativa ao ar (positiva se o observador se move na direção da fonte);
  • \,v_{\text{s,ar}} é a velocidade da fonte relativa ao ar (positiva se a fonte se move na direção do observador).
Explicação didática rápida do porquê: quando o meio (ar) está em movimento, o que conta para comprimir/esticar as frentes de onda é a velocidade da fonte em relação ao ar (não em relação ao solo) e a velocidade do observador em relação ao ar. Por isso substituímos as velocidades relativas ao solo pelas relativas ao ar.

Passo 3

Determinar as velocidades relativas ao ar (atenção aos sinais).
Escolho um eixo positivo do lado da fonte para o lado do ouvinte (som propaga-se da fonte para o ouvinte → sentido positivo). Com isso:
  • velocidade da fonte em relação ao solo: \,v_{s,\text{solo}}=+30,48\\ \mathrm{m/s} (vai em direção ao ouvinte → positiva);
  • velocidade do ouvinte em relação ao solo: como o ouvinte vem ao encontro da fonte, ele move-se no sentido oposto (para a esquerda no nosso eixo), então \,v_{o,\text{solo}}=-30,48\\ \mathrm{m/s};
  • vento “de encontro ao apito” interpretei como vento soprando do ouvinte em direção à fonte, isto é, o vento tem direção oposta à propagação do som; portanto a velocidade do ar relativa ao solo é \,v_w=-30,48\\ \mathrm{m/s} (negativa no nosso eixo).
Agora a velocidade de um corpo relativa ao ar é \,v_{\text{corpo,ar}}=v_{\text{corpo,solo}}-v_w. Assim:
v_{o,\text{ar}} = v_{o,\text{solo}} - v_w = (-30,48) - (-30,48) = 0\\ \mathrm{m/s}.
Isto quer dizer que, com essa interpretação, o ouvinte fica parado em relação ao ar (vento cancela seu movimento relativo ao ar).
v_{s,\text{ar}} = v_{s,\text{solo}} - v_w = 30,48 - (-30,48) = 60,96\\ \mathrm{m/s}.
Logo a fonte está se movendo em relação ao ar com \,60,96\\ \mathrm{m/s} em direção ao ouvinte.

Passo 4

Substituir na fórmula do Doppler com os valores encontrados.
A fórmula é
f' = f \cdot \frac{c + v_{o,\text{ar}}}{\,c - v_{s,\text{ar}}\,}.
Substituindo \,f=500\\ \mathrm{Hz}, \,c=343\\ \mathrm{m/s}, \,v_{o,\text{ar}}=0\\ \mathrm{m/s} e \,v_{s,\text{ar}}=60,96\\ \mathrm{m/s}:
f' = 500 \cdot \frac{343 + 0}{\,343 - 60,96\,} = 500 \cdot \frac{343}{282,04}.
Calculemos o quociente:
\frac{343}{282,04}\approx 1,2159\ldots
Portanto
f' \approx 500 \times 1,2159 \approx 607,95\\ \mathrm{Hz}.
Arredondando de forma razoável (três algarismos significativos), obtemos 608\\ \mathrm{Hz}.

Passo 5

Interpretação e verificação rápida (motivação didática):
  • O vento que soprou do ouvinte para a fonte fez com que o ouvinte ficasse praticamente parado em relação ao ar, anulando o efeito do seu movimento sobre o aumento de frequência. Porém o mesmo vento aumentou a velocidade da fonte relativa ao ar (pois o ar vem em direção à fonte), o que intensifica a compressão das frentes de onda e gera um aumento de frequência maior do que seria apenas pelo movimento relativo solo-sol orelha.
  • Se a interpretação do sinal do vento fosse a oposta (vento soprando da fonte para o ouvinte), os sinais nas fórmulas mudariam (o ouvinte migraria em relação ao ar no sentido da fonte) e o resultado numérico seria diferente. Como não pedi confirmação, deixei explícita a escolha feita e seu raciocínio.

Resposta

608\\ \mathrm{Hz}

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