Dois trens deslocam-se, um em direção ao outro, a
relação ao solo. Um dos trens apita a 500 Hz .
Qual a freqüência que será ouvida no outro trem se o vento estiver soprando a
de encontro ao apito?
Qual a freqüência que será ouvida no outro trem se o vento estiver soprando a
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta:
- Dado: um trem emite um apito com frequência
. - Dado: os dois trens deslocam-se um em direção ao outro com velocidade em relação ao solo
(assumimos que tanto o emissor quanto o receptor têm essa mesma velocidade em módulo, em sentidos opostos). - Dado: há vento soprando com velocidade
“de encontro ao apito”. - Pergunta: qual a frequência que será ouvida no outro trem?
Observação importante (decisão de interpretação que não vou pedir para confirmar): vou adotar a interpretação natural de “vento de encontro ao apito” como sendo vento que sopra do lado do ouvinte em direção ao apito (isto é, o vento vai do receptor para a fonte), ou seja, o vento tem direção contrária ao sentido de propagação do som. Explico o porquê desta escolha e como ela afeta os sinais nas contas nos passos seguintes.
Passo 2
Que físico usar e qual fórmula? Aqui entra o efeito Doppler para som em meio em movimento (vento). Regra-prática e muito usada:
onde:
-
é a frequência emitida pela fonte (aqui ); -
é a frequência ouvida pelo observador (o que queremos); -
é a velocidade do som no ar em repouso (vou usar , valor padrão a ); -
é a velocidade do observador relativa ao ar (positiva se o observador se move na direção da fonte); -
é a velocidade da fonte relativa ao ar (positiva se a fonte se move na direção do observador).
Explicação didática rápida do porquê: quando o meio (ar) está em movimento, o que conta para comprimir/esticar as frentes de onda é a velocidade da fonte em relação ao ar (não em relação ao solo) e a velocidade do observador em relação ao ar. Por isso substituímos as velocidades relativas ao solo pelas relativas ao ar.
Passo 3
Determinar as velocidades relativas ao ar (atenção aos sinais).
Escolho um eixo positivo do lado da fonte para o lado do ouvinte (som propaga-se da fonte para o ouvinte → sentido positivo). Com isso:
- velocidade da fonte em relação ao solo:
(vai em direção ao ouvinte → positiva); - velocidade do ouvinte em relação ao solo: como o ouvinte vem ao encontro da fonte, ele move-se no sentido oposto (para a esquerda no nosso eixo), então
; - vento “de encontro ao apito” interpretei como vento soprando do ouvinte em direção à fonte, isto é, o vento tem direção oposta à propagação do som; portanto a velocidade do ar relativa ao solo é
(negativa no nosso eixo).
Agora a velocidade de um corpo relativa ao ar é
. Assim:
Isto quer dizer que, com essa interpretação, o ouvinte fica parado em relação ao ar (vento cancela seu movimento relativo ao ar).
Logo a fonte está se movendo em relação ao ar com
em direção ao ouvinte.
Passo 4
Substituir na fórmula do Doppler com os valores encontrados.
A fórmula é
Substituindo
,
,
e
:
Calculemos o quociente:
Portanto
Arredondando de forma razoável (três algarismos significativos), obtemos
.
Passo 5
Interpretação e verificação rápida (motivação didática):
- O vento que soprou do ouvinte para a fonte fez com que o ouvinte ficasse praticamente parado em relação ao ar, anulando o efeito do seu movimento sobre o aumento de frequência. Porém o mesmo vento aumentou a velocidade da fonte relativa ao ar (pois o ar vem em direção à fonte), o que intensifica a compressão das frentes de onda e gera um aumento de frequência maior do que seria apenas pelo movimento relativo solo-sol orelha.
- Se a interpretação do sinal do vento fosse a oposta (vento soprando da fonte para o ouvinte), os sinais nas fórmulas mudariam (o ouvinte migraria em relação ao ar no sentido da fonte) e o resultado numérico seria diferente. Como não pedi confirmação, deixei explícita a escolha feita e seu raciocínio.