Uma fonte pontual de luz está localizada no ponto
. Um obstáculo vertical opaco ocupa o segmento
, com
. Uma tela está posicionada em
.
(a) Determine os pontos da tela que delimitam a região de sombra total.
(b) Determine as equações das retas que limitam a sombra.
(c) Calcule o comprimento da sombra na tela.
(d) Se a fonte for deslocada para
, determine como o tamanho da sombra depende de k .
(a) Determine os pontos da tela que delimitam a região de sombra total.
(b) Determine as equações das retas que limitam a sombra.
(c) Calcule o comprimento da sombra na tela.
(d) Se a fonte for deslocada para
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte:
- Dado: fonte pontual de luz em
(metros). - Dado: obstáculo opaco vertical localizado em
com . Ou seja, os pontos do obstáculo são (base) e (topo). - Dado: tela vertical na linha
.
As perguntas que o enunciado faz:
(a) Determinar os pontos da tela que delimitam a região de sombra total.
(b) Determinar as equações das retas que limitam a sombra.
(c) Calcular o comprimento da sombra na tela.
(d) Se a fonte for deslocada para , determinar como o tamanho da sombra depende de
.
(a) Determinar os pontos da tela que delimitam a região de sombra total.
(b) Determinar as equações das retas que limitam a sombra.
(c) Calcular o comprimento da sombra na tela.
(d) Se a fonte for deslocada para
Passo 2
Ideia geométrica (como pensar no problema): para uma fonte pontual a “borda” da sombra é formada pelos raios luminosos que saem de
e passam exatamente pelos extremos do obstáculo (
e
). Esses raios são retas; intersectando essas retas com a tela
encontramos os pontos que limitam a sombra total. Vou então:
- Determinar a equação da reta que passa por
e por . - Determinar a equação da reta que passa por
e por . - Avaliar cada reta em
para obter os pontos na tela.
Antes de calcular, relembre a fórmula para a reta que passa por dois pontos: se os pontos sãoe então a inclinação (coeficiente angular) é
e a equação na forma ponto-inclinação é
Passo 3
Reta que liga
a
:
- Calcular a inclinação:
- Equação usando
:
- Interseção com a tela
: substituindo ,
Portanto a reta que passa por
atinge a tela em
.
Passo 4
Reta que liga
a
:
- Calcular a inclinação:
- Equação usando
:
- Interseção com a tela
: substituindo ,
Portanto a reta que passa por
atinge a tela em
.
Passo 5
Concluir (a) e (b) a partir dos cálculos:
- Os pontos da tela que delimitam a sombra total são
(inferior) e (superior). - As equações das retas-limite (os raios que tangenciam o obstáculo) são
e
Passo 6
Calcular o comprimento da sombra na tela (c):
- A tela é vertical em
, logo o comprimento vertical da sombra é a diferença entre as ordenadas dos pontos encontrados:
Passo 7
Agora a variação com
(d): considere
. Repito o procedimento simbolicamente para obter as ordenadas na tela.
Reta entre
e
:
- Inclinação
- Equação:
, então em
Reta entre
e
:
- Inclinação
- Em
:
Comprimento da sombra para parâmetro
:
Observação: as duas extremidades se deslocam com
(cada uma tem um termo em
), mas a diferença entre elas permanece
. Portanto o tamanho da sombra é independente de
(não muda com o deslocamento vertical da fonte).
Resposta
(a)
e
(b) e
(c)
(d) Para as interseções são
e
; o comprimento da sombra é
(independente de
).
(b)
(c)
(d) Para