Uma fonte pontual de luz está localizada no ponto \mathrm{F}=(0,2) \mathrm{m}. Um obstáculo vertical opaco ocupa o segmento \mathrm{x}=2, com \mathrm{y} \in[0,1]. Uma tela está posicionada em \mathrm{x}=6.
(a) Determine os pontos da tela que delimitam a região de sombra total.
(b) Determine as equações das retas que limitam a sombra.
(c) Calcule o comprimento da sombra na tela.
(d) Se a fonte for deslocada para F=(0,2+k), determine como o tamanho da sombra depende de k .

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte:
  • Dado: fonte pontual de luz em \mathrm{F}=(0,2) (metros).
  • Dado: obstáculo opaco vertical localizado em \mathrm{x}=2 com \mathrm{y}\in[0,1]. Ou seja, os pontos do obstáculo são (2,0) (base) e (2,1) (topo).
  • Dado: tela vertical na linha \mathrm{x}=6.
As perguntas que o enunciado faz:
(a) Determinar os pontos da tela que delimitam a região de sombra total.
(b) Determinar as equações das retas que limitam a sombra.
(c) Calcular o comprimento da sombra na tela.
(d) Se a fonte for deslocada para \mathrm{F}=(0,2+k), determinar como o tamanho da sombra depende de k.

Passo 2

Ideia geométrica (como pensar no problema): para uma fonte pontual a “borda” da sombra é formada pelos raios luminosos que saem de \mathrm{F} e passam exatamente pelos extremos do obstáculo ( (2,0) e (2,1)). Esses raios são retas; intersectando essas retas com a tela \mathrm{x}=6 encontramos os pontos que limitam a sombra total. Vou então:
  1. Determinar a equação da reta que passa por \mathrm{F}=(0,2) e por (2,0).
  2. Determinar a equação da reta que passa por \mathrm{F}=(0,2) e por (2,1).
  3. Avaliar cada reta em \mathrm{x}=6 para obter os pontos na tela.
    Antes de calcular, relembre a fórmula para a reta que passa por dois pontos: se os pontos são (x_1,y_1) e (x_2,y_2) então a inclinação (coeficiente angular) é
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},
e a equação na forma ponto-inclinação é
y-y_1=m(x-x_1).

Passo 3

Reta que liga \mathrm{F}=(0,2) a (2,0):
  • Calcular a inclinação:
m_1=\frac{0-2}{2-0}=\frac{-2}{2}=-1.
  • Equação usando y-2=m_1(x-0):
y-2=-1\cdot x \quad\Rightarrow\quad y=2-x.
  • Interseção com a tela \mathrm{x}=6: substituindo x=6,
y=2-6=-4.
Portanto a reta que passa por (2,0) atinge a tela em (6,-4).

Passo 4

Reta que liga \mathrm{F}=(0,2) a (2,1):
  • Calcular a inclinação:
m_2=\frac{1-2}{2-0}=\frac{-1}{2}=-\tfrac{1}{2}.
  • Equação usando y-2=m_2(x-0):
y-2=-\tfrac{1}{2}x \quad\Rightarrow\quad y=2-\tfrac{x}{2}.
  • Interseção com a tela \mathrm{x}=6: substituindo x=6,
y=2-\tfrac{6}{2}=2-3=-1.
Portanto a reta que passa por (2,1) atinge a tela em (6,-1).

Passo 5

Concluir (a) e (b) a partir dos cálculos:
  • Os pontos da tela que delimitam a sombra total são (6,-4) (inferior) e (6,-1) (superior).
  • As equações das retas-limite (os raios que tangenciam o obstáculo) são
y=2-x
e
y=2-\tfrac{x}{2}.

Passo 6

Calcular o comprimento da sombra na tela (c):
  • A tela é vertical em x=6, logo o comprimento vertical da sombra é a diferença entre as ordenadas dos pontos encontrados:
L = y_{\text{superior}}-y_{\text{inferior}} = (-1)-(-4)=3\\ \text{m}.

Passo 7

Agora a variação com k (d): considere \mathrm{F}=(0,2+k). Repito o procedimento simbolicamente para obter as ordenadas na tela.
Reta entre \mathrm{F}=(0,2+k) e (2,0):
  • Inclinação
m_1(k)=\frac{0-(2+k)}{2-0}=-\frac{2+k}{2}.
  • Equação: y-(2+k)=m_1(k)(x-0), então em x=6
y_1(6)=2+k -\frac{2+k}{2}\cdot 6 = 2+k -3(2+k) = (2+k)(1-3) = -2(2+k) = -4-2k.
Reta entre \mathrm{F}=(0,2+k) e (2,1):
  • Inclinação
m_2(k)=\frac{1-(2+k)}{2-0}=-\frac{1+k}{2}.
  • Em x=6:
y_2(6)=2+k -\frac{1+k}{2}\cdot 6 = 2+k -3(1+k) = 2+k -3 -3k = -1 -2k.
Comprimento da sombra para parâmetro k:
L(k)=y_2(6)-y_1(6)=(-1-2k)-(-4-2k)=3.
Observação: as duas extremidades se deslocam com k (cada uma tem um termo em -2k), mas a diferença entre elas permanece \,3\\ \text{m}. Portanto o tamanho da sombra é independente de k (não muda com o deslocamento vertical da fonte).

Resposta

(a) (6,-4) e (6,-1)
(b) y=2-x e y=2-\tfrac{x}{2}
(c) 3\\ \text{m}
(d) Para \mathrm{F}=(0,2+k) as interseções são (6,-4-2k) e (6,-1-2k); o comprimento da sombra é 3\\ \text{m} (independente de k).

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