Resolva, em \mathbb{R}, as inequações:
4(x+2)>2(x-1)+3(x+1)

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em \mathbb{R}, a inequação
4(x+2)>2(x-1)+3(x+1).
Ou seja: encontrar todos os números reais x que tornam essa desigualdade verdadeira. As informações dadas são exatamente os coeficientes e termos dentro da expressão acima; não há outros dados ocultos.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: aplicar a propriedade distributiva para eliminar parênteses. Lembre-se da propriedade distributiva: para quaisquer números a,b,c vale
a(b+c)=ab+ac.
Aplicando em cada termo da inequação:
4(x+2)=4x+8,
2(x-1)=2x-2,
3(x+1)=3x+3.
Substituindo na inequação obtemos
4x+8>2x-2+3x+3.

Passo 3

Agora somamos/agrupamos os termos semelhantes do lado direito. Soma de termos em x:
2x+3x=5x.
Soma dos termos constantes no lado direito:
-2+3=1.
Portanto a inequação fica
4x+8>5x+1.

Passo 4

Isolar x: subtrai-se 5x de ambos os lados (subtrair ou adicionar a mesma quantidade em ambos os lados não altera a desigualdade):
4x-5x+8>5x-5x+1,
ou seja
-x+8>1.

Passo 5

Continuar isolando x: subtrai-se 8 de ambos os lados:
-x>1-8,
-x>-7.
Agora multiplicamos ambos os lados por -1 para ter x positivo. Importante regra das inequações: ao multiplicar ou dividir ambos os lados por um número negativo o sentido da desigualdade inverte-se (por exemplo, se a>b então -a<-b). Aplicando isso:
x<7.

Passo 6

Interpretação final: a solução da inequação é o conjunto de todos os números reais menores que 7. Vamos checar rapidamente com dois exemplos:
  • Teste com x=0 (deve satisfazer): à esquerda 4(0+2)=8. À direita 2(-1)+3(1)=1. 8>1 é verdadeiro.
  • Teste com x=8 (não deve satisfazer): à esquerda 4(10)=40. À direita 2(7)+3(9)=41. 40>41 é falso.
    Esses testes confirmam que a solução encontrada faz sentido.

Resposta

(-\infty,7)

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