Uma fonte projetada para lançar água a uma altura de 12 metros tem um bocal de 1,0 cm de diâmetro no nível do solo. A bomba de água está localizada a 3,0 metros abaixo do solo. O tubo que vai da bomba no bocal tem 14 m de diâmetro de 2,0 cm.
(a) ( 10 pontos) Com qual velocidade a água é projetada verticalmente pelo bocal?
(b) ( 05 pontos) Qual é a razão vt / vb entre as velocidades da água dentro do tubo ( vk ) e na saída do bocal ( vb )?
(c) ( 10 pontos) Encontre a pressão necessária na saída da bomba.

Passo 1

Vamos organizar os dados e o que vamos usar. A fonte deve lançar água até altura h=12,m, o bocal está no nível do solo com diâmetro Db=1,0,cm, e a bomba fica 3,0,m abaixo do solo. O tubo de ligação tem diâmetro Dt=2,0,cm e comprimento 14,m, mas vamos desprezar perdas por atrito.
Conteúdos principais:
  • Cinemática para encontrar a velocidade de saída vb para atingir altura h.
  • Continuidade ( Ab vb = At vt) para achar vt e a razão vt/vb.
  • Equação de Bernoulli (sem perdas) entre a saída da bomba (ponto 1) e o bocal (ponto 2) para encontrar a pressão na saída da bomba.

Passo 2

Velocidade no bocal vb. Da equação de alcance vertical (ou energia cinética to potencial),
vb^22g=h
Logo,
vb=raiz2gh=raiz2cdot9,8;ms^2cdot12;m approx15,3;m/s

Passo 3

Velocidade no tubo vt e razão vtvb. Pelos diâmetros, as áreas são
Ab=pil(Db2r)^2 =pi(0,005; m)^2, At=pi(0,01; m)^2
Pela continuidade Abvb=Atvt, vem
vt=vb;AbAt =vbl(0,0050,01r)^2 =vbcdot0,25
Portanto a razão é
vtvb=0,25

Passo 4

Pressão necessária na saída da bomba. Use Bernoulli sem perdas entre ponto 1 (saída da bomba) e ponto 2 (bocal), adotando pressão atmosférica como referência zero de pressão gauge:
P1rho g+vt^22g+z1 = underbraceP2rho g0+vb^22g+z2,
onde z1=-3,m e z2=0. Isolando P1 (gauge):
P1 =rhol[vb^2-vt^22+g(z2-z1)r]
Substituindo rho=1000,kg/ m^3, vbapprox15,3,m/s e vt=0,25,vbapprox3,83,m/s:
vb^2-vt^22 =(15,3)^2-(3,83)^22approx110,2;J/kg, g(z2-z1)=9,8cdot3=29,4;J/kg
Então
P1approx1000,(110,2+29,4);Pa =1,396times10^5;Pa approx1,40;bar,

Resposta

(a) vb=raiz2ghapprox15,3;m/s
(b) vtvb=l(DbDtr)^2=0,25
(c) Pressão de saída da bomba (gauge)
P1approx1,40times10^5;Paapprox1,40;bar

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