Uma fonte puntiforme de luz emite homogeneamente e isotopicamente ondas harmônicas a uma potencia constante, P. A uma distância muito grande da fonte encontre a variação do vetor campo elétrico quando se duplica à distância da fonte.

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado diz que temos uma fonte pontual de luz que emite ondas harmônicas isotropicamente (ou seja, igual em todas as direções) com potência fixa P. A uma distância grande r dessa fonte, queremos saber como muda o vetor campo elétrico quando a gente dobra a distância (passa de r para 2r).
Conteúdo: eletromagnetismo (ondas eletromagnéticas), intensidade de onda e relação entre intensidade e amplitude do campo elétrico. Vamos precisar usar:
  1. A definição de intensidade média I® para uma fonte pontual:
    I® = P / (4πr²)
  2. A relação entre a intensidade média e a amplitude do campo elétrico para onda harmônica no vácuo:
    I = (1/2) ε₀ c E₀²

Passo 2

Primeiro, calculo a intensidade média a uma distância r da fonte. Como a potência P se espalha igualmente por uma esfera de área 4πr², temos
I(r) ;=; P4pi r^2,
Quando eu dobro a distância, ou seja, passo para 2r, a área da esfera vira 4π(2r)² = 16πr². Logo
I(2r) ;=; P4pi,(2r)^2 ;=; P16pi r^2 ;=; 14,P4pi r^2 ;=; 14,I(r),

Passo 3

Agora, como a intensidade média de uma onda harmônica se relaciona com a amplitude (valor máximo) do campo elétrico E₀? A gente usa a fórmula (no vácuo):
I = 12,varepsilon0,c,E0^2,,
onde ε₀ é a permissividade do vácuo e c é a velocidade da luz.
Dessa equação, podemos isolar E₀:
E0 = raiz2,Ivarepsilon0,c,

Passo 4

Vamos chamar de E® a amplitude do campo elétrico a distância r, e de E(2r) a amplitude a 2r.
Usando a fórmula E₀ ∝ √I, temos:
E(r) = raiz2,I(r)varepsilon0,ce E(2r) = raiz2,I(2r)varepsilon0,c,
Como vimos que I(2r) = I®/4, então
E(2r) = raiz2,[I(r)/4]varepsilon0,c = raiz14,2,I(r)varepsilon0,c = 12,raiz2,I(r)varepsilon0,c = 12,E(r),

Resposta

Quando a gente dobra a distância da fonte pontual, a amplitude do vetor campo elétrico reduz à metade:
E(2r) = tfrac12,E(r),

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