Uma onda com uma frequência de 1200 Hz propaga-se ao longo de um fio que está sob uma tensão de 800 N . Seu comprimento de onda é 24 cm . Qual será o comprimento de onda se a tensão diminuir para 600 N e se a frequência for mantida constante? R. \mathbf{2 0 , 8 ~ c m}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e faz uma pergunta clara. Listei tudo para não nos perder:
  • Frequência inicial: f=1200\\ \text{Hz}.
  • Tensão inicial: T_1=800\\ \text{N}.
  • Comprimento de onda inicial: \lambda_1=24\\ \text{cm}.
  • Nova tensão: T_2=600\\ \text{N}.
  • A frequência é mantida igual (ou seja, f permanece 1200\\ \text{Hz}).
    O que o problema pede: encontrar o novo comprimento de onda \lambda_2 quando a tensão cai para T_2 e a frequência não muda.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que precisamos (mini-aula):
  • Relação fundamental entre velocidade da onda, frequência e comprimento de onda:
v = f\,\lambda
onde v é a velocidade da onda (m/s), f é a frequência (Hz) e \lambda é o comprimento de onda (m).
  • Velocidade de uma onda transversal em um fio (corda) depende da tensão e da massa por unidade de comprimento:
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}
onde T é a tensão no fio (N) e \mu é a massa por unidade de comprimento do fio (kg/m). Explicando \mu: se um trecho de comprimento L do fio tem massa m, então \mu=\dfrac{m}{L}. Nesse problema não nos dão \mu, mas podemos obtê-la usando as condições iniciais.
  • Observação útil: mantendo \mu fixo (o fio não muda), v varia como \sqrt{T}. Se f é constante, então \lambda também varia como \sqrt{T}, porque \lambda=v/f.

Passo 3

Calcular a velocidade inicial v_1 a partir de f e \lambda_1.
Primeiro converto \lambda_1 para metros:
\lambda_1=24\\ \text{cm}=0{,}24\\ \text{m}.
Agora uso v_1=f\lambda_1:
v_1 = 1200\times 0{,}24 = 288\\ \text{m/s}.
Então a velocidade da onda no estado inicial é 288\\ \text{m/s}.

Passo 4

Determinar a massa por unidade de comprimento \mu usando T_1 e v_1.
A fórmula é \mu=\dfrac{T_1}{v_1^2}. Calculemos passo a passo:
v_1^2 = 288^2 = 82944.
\mu = \frac{800}{82944} = \frac{50}{5184}\approx 0{,}009645\\ \text{kg/m}.
Interpretação: esse valor fixa as propriedades do fio; quando mudamos a tensão, \mu não muda.

Passo 5

Calcular a nova velocidade v_2 quando T_2=600\\ \text{N}.
Usar diretamente \displaystyle v_2=\sqrt{\frac{T_2}{\mu}} funciona, mas é mais rápido usar a razão com v_1:
v_2 = v_1\sqrt{\frac{T_2}{T_1}}.
Substituindo:
\sqrt{\frac{T_2}{T_1}}=\sqrt{\frac{600}{800}}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}8660254.
v_2 = 288\times 0{,}8660254 \approx 249{,}415315\\ \text{m/s}.

Passo 6

Calcular o novo comprimento de onda \lambda_2 com f constante:
\lambda_2=\frac{v_2}{f}=\frac{249{,}415315}{1200}\\ \text{m}\approx 0{,}207846096\\ \text{m}.
Convertendo para centímetros:
\lambda_2 \approx 20{,}7846096\\ \text{cm}.
Arredondando com uma casa decimal (como o enunciado resposta sugeriu):
\lambda_2 \approx 20{,}8\\ \text{cm}.

Passo 7

Cheque rápido (método direto usando proporcionalidade): como \lambda\propto\sqrt{T} para f constante,
\lambda_2=\lambda_1\sqrt{\frac{T_2}{T_1}}=24\\ \text{cm}\times 0{,}8660254\approx 20{,}7846\\ \text{cm},
o que confirma o resultado obtido antes.

Resposta

20{,}8\\ \text{cm}

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