Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty}(1+2 x)^{1 /(2 \ln (x))}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to+\infty}(1+2x)^{\frac{1}{2\ln(x)}}.
O conteúdo é limites de funções que envolvem potência com expoente que depende de x. Para resolver, vamos usar a técnica de tomar o logaritmo natural e depois voltar à função original pela exponenciação.

Passo 2

Defina
y = (1+2x)^{\frac{1}{2\ln(x)}}.
Tome o logaritmo natural de ambos os lados:
\ln(y) = \frac{1}{2\ln(x)}\;\ln\bigl(1+2x\bigr).

Passo 3

Quando x\to+\infty, temos
\ln\bigl(1+2x\bigr) = \ln\bigl(2x(1+\tfrac1{2x})\bigr) = \ln(2x) + \ln\bigl(1+\tfrac1{2x}\bigr).
Como \ln(1+\tfrac1{2x})\to0, fica
\ln\bigl(1+2x\bigr) = \ln(2) + \ln(x) + o(1).

Passo 4

Substituindo na expressão de \ln(y):
\ln(y) = \frac{\ln(x)+\ln(2)+o(1)}{2\ln(x)} = \frac{\ln(x)}{2\ln(x)} + \frac{\ln(2)}{2\ln(x)} + o\!\Bigl(\tfrac1{\ln(x)}\Bigr) = \tfrac12 + o(1).
Logo
\lim_{x\to+\infty}\ln(y) = \tfrac12.

Passo 5

Voltando à variável original, como y=e^{\ln(y)}, obtemos
\lim_{x\to+\infty}y = e^{\lim_{x\to+\infty}\ln(y)} = e^{1/2} =\sqrt{e}.

Resposta

\sqrt{e}

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