Resolva a seguinte EDO de terceira ordem por variação de parâmetros
y^{\prime \prime \prime}-2 y^{\prime \prime}-y^{\prime}+2 y=e^{4 x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de terceira ordem
y''' - 2y'' - y' + 2y = e^{4x}
usando o método de variação de parâmetros. Para isso precisamos primeiro encontrar as soluções fundamentais da equação homogênea associada.

Passo 2

Escrevemos a equação característica da homogênea
r^3 - 2r^2 - r + 2 = 0.
Agrupando termos obtemos
r^2(r - 2) -1(r - 2) = (r^2 - 1)(r - 2) = 0,
logo as raízes são r = 1, r = -1 e r = 2. As soluções fundamentais são
y_1 = e^x,\quad y_2 = e^{-x},\quad y_3 = e^{2x}
e a solução geral da homogênea é
y_h = C_1 e^x + C_2 e^{-x} + C_3 e^{2x}.

Passo 3

Procuramos uma solução particular na forma
y_p = u_1(x)e^x + u_2(x)e^{-x} + u_3(x)e^{2x},
com as condições suplementares
\begin{cases} u_1' e^x + u_2' e^{-x} + u_3' e^{2x} = 0,\\\ u_1' e^x + u_2'(-e^{-x}) + u_3'(2e^{2x}) = 0,\\\ u_1' e^x + u_2' e^{-x} + u_3'(4e^{2x}) = e^{4x}. \end{cases}
Em forma matricial,
\begin{pmatrix} e^x & e^{-x} & e^{2x}\\\ e^x & -e^{-x} & 2e^{2x}\\\ e^x & e^{-x} & 4e^{2x} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}u_1'\u_2'\u_3'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\e^{4x}\end{pmatrix}.

Passo 4

Calculamos o Wronskiano W da matriz dos coeficientes:
W = \det \begin{pmatrix} e^x & e^{-x} & e^{2x}\\\ e^x & -e^{-x} & 2e^{2x}\\\ e^x & e^{-x} & 4e^{2x} \end{pmatrix} = -6e^{2x}.

Passo 5

Aplicando a regra de Cramer, obtemos os determinantes:
W_1 = \det \begin{pmatrix} 0 & e^{-x} & e^{2x}\\\\ 0 & -e^{-x} & 2e^{2x}\\\ e^{4x} & e^{-x} & 4e^{2x} \end{pmatrix} = 3e^{5x},\quad W_2 = \det \begin{pmatrix} e^x & 0 & e^{2x}\\\ e^x & 0 & 2e^{2x}\\\ e^x & e^{4x} & 4e^{2x} \end{pmatrix} = -e^{7x},
W_3 = \det \begin{pmatrix} e^x & e^{-x} & 0\\\ e^x & -e^{-x} & 0\\\ e^x & e^{-x} & e^{4x} \end{pmatrix} = -2e^{4x}.
Logo
u_1' = \frac{W_1}{W} = -\tfrac12\,e^{3x},\quad u_2' = \frac{W_2}{W} = \tfrac16\,e^{5x},\quad u_3' = \frac{W_3}{W} = \tfrac13\,e^{2x}.

Passo 6

Integramos cada derivada:
u_1(x) = \int -\tfrac12\,e^{3x}\,dx = -\tfrac{1}{6}e^{3x},\quad u_2(x) = \int \tfrac16\,e^{5x}\,dx = \tfrac{1}{30}e^{5x},\quad u_3(x) = \int \tfrac13\,e^{2x}\,dx = \tfrac{1}{6}e^{2x}.

Passo 7

A solução particular é
y_p = u_1 e^x + u_2 e^{-x} + u_3 e^{2x} = -\tfrac{1}{6}e^{3x}e^x + \tfrac{1}{30}e^{5x}e^{-x} + \tfrac{1}{6}e^{2x}e^{2x} = \tfrac{1}{30}e^{4x}.
Portanto a solução geral da EDO é
y = y_h + y_p = C_1 e^x + C_2 e^{-x} + C_3 e^{2x} + \tfrac{1}{30}e^{4x}.

Resposta

y = C_1 e^x + C_2 e^{-x} + C_3 e^{2x} + \frac{1}{30}\,e^{4x}.

Exercícios relacionados