For each item, provide, when possible, examples of sequences
, and
such that
,
, and
.
d)
d)
Passo 1
O enunciado pede que eu dê exemplos de três sequências
,
e
tal que as seguintes propriedades ocorram simultaneamente:
-
; -
; -
;
e, além disso, que o produto satisfaça.
As informações relevantes são exatamente essas: limites desejados para cada sequência e a condição sobre o produto. Não há outras restrições no enunciado (por exemplo, nada sobre monotonia, positividade ou serem inteiras), então posso escolher sequências simples que satisfaçam as propriedades.
Passo 2
Antes de construir exemplos, vamos revisar o que cada uma dessas convergências significa (explicação passo a passo, sem pular etapas).
Definição de
: significa que, dado qualquer número real
, existe um índice
(dependendo de
) tal que para todo
temos
. Em palavras: os termos de
ficam arbitrariamente grandes e positivos à medida que
cresce.
Definição de
: significa que, dado qualquer número real
(ou dito de outra forma, para todo
podemos tomar
), existe
tal que para todo
temos
. Em palavras: os termos de
ficam arbitrariamente negativos (tendem para menos infinito).
Definição de
: significa que, dado qualquer
, existe
tal que para todo
temos
. Em palavras: os termos de
aproximam-se de zero.
Condição sobre o produto: queremos que os termos
tendam a zero. Intuitivamente, mesmo que
cresça sem limite, se
tende a zero suficientemente rápido (ou seja,
decai mais rápido do que
cresce), o produto pode ir para zero.
Passo 3
Estratégia concreta (simples e prática para a prova): escolher
com crescimento polinomial simples (por exemplo
ou
), escolher
como o negativo de algo que diverge (por exemplo
), e escolher
como uma sequência que tende a zero mais rápido que
(por exemplo
se
). Essa escolha garante que o produto tende a zero, porque
.
Vou usar a escolha muito simples e direta:
Agora vou provar passo a passo que essas sequências têm as propriedades exigidas.
Passo 4
Provar que
satisfaz
.
Tomemos qualquer
. Se escolhermos
(o menor inteiro maior ou igual a
), então para todo
temos
, logo
. Assim, por definição,
.
Explicação extra (intuitiva): a sequência
cresce sem limite, por isso tende a
.
Passo 5
Provar que
satisfaz
.
Tomemos qualquer
. Coloque
. Se escolhermos
, para todo
temos
, então
. Portanto
fica menor (mais negativo) que qualquer
para
grande, o que mostra
.
Intuição:
vai para menos infinito porque seus valores são inteiros negativos com módulo crescente.
Passo 6
Provar que
satisfaz
.
Seja
. Queremos
tal que
. Isso ocorre sempre que
. Assim, tomando
, para todo
teremos
. Logo
.
Comentário:
tende a zero mais rápido que
; essa “velocidade” é justamente o que nos permite anular o crescimento de
.
Passo 7
Provar que o produto
tende a zero com as escolhas propostas.
Calculemos explicitamente:
E sabemos que
quando
(prove-se exatamente como no Passo 6, usando
e escolhendo
). Portanto
.
Interpretação prática para a prova: mesmo com
indo para
, se
é pequena o bastante (aqui
), o produto pode convergir para zero (aqui
).
Passo 8
Observações finais e alternativas rápidas (úteis na prova): há muitos outros exemplos válidos. Por exemplo:
-
, (produto ); -
, (produto ); - em geral, qualquer
e tal que (ou seja, ) serve.
Isso mostra que a condição é perfeitamente possível e há muitas escolhas simples na prova. Força aí — você já tem a estratégia mínima necessária para construir outros exemplos se pedir no exame.