For each item, provide, when possible, examples of sequences u, v, and w such that u_{n} \rightarrow+\infty, v_{n} \rightarrow-\infty, and w_{n} \rightarrow 0.
d) u_{n} \times w_{n} \rightarrow 0

Passo 1

O enunciado pede que eu dê exemplos de três sequências u=(u_{n}), v=(v_{n}) e w=(w_{n}) tal que as seguintes propriedades ocorram simultaneamente:
  • u_{n}\rightarrow+\infty;
  • v_{n}\rightarrow-\infty;
  • w_{n}\rightarrow 0;
    e, além disso, que o produto satisfaça u_{n}\times w_{n}\rightarrow 0.
As informações relevantes são exatamente essas: limites desejados para cada sequência e a condição sobre o produto. Não há outras restrições no enunciado (por exemplo, nada sobre monotonia, positividade ou serem inteiras), então posso escolher sequências simples que satisfaçam as propriedades.

Passo 2

Antes de construir exemplos, vamos revisar o que cada uma dessas convergências significa (explicação passo a passo, sem pular etapas).
Definição de u_{n}\rightarrow+\infty: significa que, dado qualquer número real M>0, existe um índice N (dependendo de M) tal que para todo n\ge N temos u_{n}>M. Em palavras: os termos de u_{n} ficam arbitrariamente grandes e positivos à medida que n cresce.
Definição de v_{n}\rightarrow-\infty: significa que, dado qualquer número real M<0 (ou dito de outra forma, para todo M'>0 podemos tomar M=-M'), existe N tal que para todo n\ge N temos v_{n}<M. Em palavras: os termos de v_{n} ficam arbitrariamente negativos (tendem para menos infinito).
Definição de w_{n}\rightarrow 0: significa que, dado qualquer \varepsilon>0, existe N tal que para todo n\ge N temos |w_{n}|<\varepsilon. Em palavras: os termos de w_{n} aproximam-se de zero.
Condição sobre o produto: queremos que os termos u_{n}w_{n} tendam a zero. Intuitivamente, mesmo que u_{n} cresça sem limite, se w_{n} tende a zero suficientemente rápido (ou seja, w_{n} decai mais rápido do que u_{n} cresce), o produto pode ir para zero.

Passo 3

Estratégia concreta (simples e prática para a prova): escolher u_{n} com crescimento polinomial simples (por exemplo u_{n}=n ou u_{n}=n^{2}), escolher v_{n} como o negativo de algo que diverge (por exemplo v_{n}=-n), e escolher w_{n} como uma sequência que tende a zero mais rápido que 1/u_{n} (por exemplo w_{n}=\dfrac{1}{n^{2}} se u_{n}=n). Essa escolha garante que o produto tende a zero, porque n\cdot \dfrac{1}{n^{2}}=\dfrac{1}{n}\rightarrow 0.
Vou usar a escolha muito simples e direta:
u_{n}=n,\qquad v_{n}=-n,\qquad w_{n}=\dfrac{1}{n^{2}}.
Agora vou provar passo a passo que essas sequências têm as propriedades exigidas.

Passo 4

Provar que u_{n}=n satisfaz u_{n}\rightarrow+\infty.
Tomemos qualquer M>0. Se escolhermos N=\lceil M\rceil (o menor inteiro maior ou igual a M), então para todo n\ge N temos n\ge N\ge M, logo u_{n}=n\ge M. Assim, por definição, u_{n}\rightarrow+\infty.
Explicação extra (intuitiva): a sequência n cresce sem limite, por isso tende a +\infty.

Passo 5

Provar que v_{n}=-n satisfaz v_{n}\rightarrow-\infty.
Tomemos qualquer M<0. Coloque M'=-M>0. Se escolhermos N=\lceil M'\rceil, para todo n\ge N temos n\ge M', então v_{n}=-n\le -M' = M. Portanto v_{n} fica menor (mais negativo) que qualquer M<0 para n grande, o que mostra v_{n}\rightarrow-\infty.
Intuição: v_{n}=-n vai para menos infinito porque seus valores são inteiros negativos com módulo crescente.

Passo 6

Provar que w_{n}=\dfrac{1}{n^{2}} satisfaz w_{n}\rightarrow 0.
Seja \varepsilon>0. Queremos n tal que \dfrac{1}{n^{2}}<\varepsilon. Isso ocorre sempre que n>\dfrac{1}{\sqrt{\varepsilon}}. Assim, tomando N=\left\lceil \dfrac{1}{\sqrt{\varepsilon}}\right\rceil, para todo n\ge N teremos |w_{n}|=\dfrac{1}{n^{2}}<\varepsilon. Logo w_{n}\rightarrow 0.
Comentário: 1/n^{2} tende a zero mais rápido que 1/n; essa “velocidade” é justamente o que nos permite anular o crescimento de u_{n}.

Passo 7

Provar que o produto u_{n}w_{n} tende a zero com as escolhas propostas.
Calculemos explicitamente:
u_{n}w_{n}=n\cdot \dfrac{1}{n^{2}}=\dfrac{1}{n}.
E sabemos que \dfrac{1}{n}\rightarrow 0 quando n\rightarrow\infty (prove-se exatamente como no Passo 6, usando \varepsilon>0 e escolhendo N>\dfrac{1}{\varepsilon}). Portanto u_{n}w_{n}\rightarrow 0.
Interpretação prática para a prova: mesmo com u_{n} indo para +\infty, se w_{n} é pequena o bastante (aqui O(1/n^{2})), o produto pode convergir para zero (aqui O(1/n)).

Passo 8

Observações finais e alternativas rápidas (úteis na prova): há muitos outros exemplos válidos. Por exemplo:
  • u_{n}=n^{2}, w_{n}=1/n^{3} (produto =1/n\rightarrow 0);
  • u_{n}=e^{n}, w_{n}=e^{-2n} (produto =e^{-n}\rightarrow 0);
  • em geral, qualquer u_{n}\to+\infty e w_{n} tal que |w_{n}|=o(1/u_{n}) (ou seja, u_{n}w_{n}\to 0) serve.
Isso mostra que a condição é perfeitamente possível e há muitas escolhas simples na prova. Força aí — você já tem a estratégia mínima necessária para construir outros exemplos se pedir no exame.

Resposta

u_{n}=n
v_{n}=-n
w_{n}=\dfrac{1}{n^{2}}

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