For each item, provide, when possible, examples of sequences u, v, and w such that u_{n} \rightarrow+\infty, v_{n} \rightarrow-\infty, and w_{n} \rightarrow 0.
e) v_{n} \times w_{n} \rightarrow+\infty

Passo 1

O que o enunciado pede aqui: encontrar sequências u=(u_n), v=(v_n) e w=(w_n) tais que
u_n \to +\infty,\qquad v_n \to -\infty,\qquad w_n \to 0
e, além disso, que o produto satisfaça
v_n \times w_n \to +\infty.
Listei acima claramente as três condições que as sequências devem cumprir; a partir daqui vou propor exemplos e justificar, passo a passo, por que cada condição é satisfeita.

Passo 2

Proponho as seguintes sequências (são escolhas simples e bem comportadas):
u_n = n,\qquad v_n = -n^{2},\qquad w_n = -\dfrac{1}{n}.
Agora vou mostrar, de forma didática, que essas escolhas obedecem às três convergências solicitadas e que o produto tende para +\infty.

Passo 3

Provar que u_n \to +\infty com u_n = n.
Definição usada: dizer que u_n \to +\infty significa que para todo M>0 existe N tal que, para todo n\ge N, tem-se u_n > M.
Tomemos um M>0 qualquer. Escolha
N = \lfloor M\rfloor + 1,
onde \lfloor M\rfloor é a parte inteira de M. Então, para todo n\ge N vale
u_n = n \ge N = \lfloor M\rfloor + 1 > M.
Logo, por definição, u_n \to +\infty.

Passo 4

Provar que v_n \to -\infty com v_n = -n^{2}.
Definição usada: v_n \to -\infty significa que para todo K>0 existe N tal que, para todo n\ge N, v_n < -K. (Equivalente: para qualquer M<0 existe N tal que v_n<M para n\ge N.)
Tomemos K>0. Queremos -n^{2} < -K, isto é, n^{2} > K. Basta escolher
N = \lfloor \sqrt{K}\rfloor + 1.
Então, para todo n\ge N teremos n^{2} > K, logo v_n = -n^{2} < -K. Assim v_n \to -\infty.

Passo 5

Provar que w_n \to 0 com w_n = -\dfrac{1}{n}.
Definição usada: w_n \to 0 significa que para todo \varepsilon>0 existe N tal que, para todo n\ge N, |w_n - 0| < \varepsilon.
Temos |w_n| = \dfrac{1}{n}. Dado \varepsilon>0, escolha
N = \left\lfloor \dfrac{1}{\varepsilon}\right\rfloor + 1.
Para todo n\ge N vale \dfrac{1}{n} \le \dfrac{1}{N} < \varepsilon. Portanto |w_n|<\varepsilon e w_n\to 0.

Passo 6

Provar que v_n \times w_n \to +\infty com as escolhas acima.
Calcule o produto explicitamente:
v_n w_n = \big(-n^{2}\big)\cdot\big(-\tfrac{1}{n}\big) = n.
Mas já mostramos em

Resposta

u_n = n
v_n = -n^{2}
w_n = -\dfrac{1}{n}

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