For each item, provide, when possible, examples of sequences
, and
such that
,
, and
.
e)
e)
Passo 1
O que o enunciado pede aqui: encontrar sequências
,
e
tais que
e, além disso, que o produto satisfaça
Listei acima claramente as três condições que as sequências devem cumprir; a partir daqui vou propor exemplos e justificar, passo a passo, por que cada condição é satisfeita.
Passo 2
Proponho as seguintes sequências (são escolhas simples e bem comportadas):
Agora vou mostrar, de forma didática, que essas escolhas obedecem às três convergências solicitadas e que o produto tende para
.
Passo 3
Provar que
com
.
Definição usada: dizer que
significa que para todo
existe
tal que, para todo
, tem-se
.
Tomemos um
qualquer. Escolha
onde
é a parte inteira de
. Então, para todo
vale
Logo, por definição,
.
Passo 4
Provar que
com
.
Definição usada:
significa que para todo
existe
tal que, para todo
,
. (Equivalente: para qualquer
existe
tal que
para
.)
Tomemos
. Queremos
, isto é,
. Basta escolher
Então, para todo
teremos
, logo
. Assim
.
Passo 5
Provar que
com
.
Definição usada:
significa que para todo
existe
tal que, para todo
,
.
Temos
. Dado
, escolha
Para todo
vale
. Portanto
e
.
Passo 6
Provar que
com as escolhas acima.
Calcule o produto explicitamente:
Mas já mostramos em