For each of the listed equations, write down the equation in vector form and decide if it is linear or nonlinear. If it is nonlinear, which term(s) make it so?
compressible Navier-Stokes equation.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Escrever a equação de Navier–Stokes compressível em forma vetorial (ou seja, o sistema conservativo com as equações de massa, quantidade de movimento e energia).
  • Decidir se o sistema é linear ou não; se for não linear, indicar explicitamente quais termos o tornam não linear.
Informações/dados relevantes (variáveis que aparecem e que vou usar):
  • \rho(\mathbf{x},t): densidade do fluido.
  • \mathbf{u}(\mathbf{x},t): campo de velocidade (vetor).
  • p(\mathbf{x},t): pressão.
  • E(\mathbf{x},t): energia total por unidade de massa (energia interna + cinética).
  • \boldsymbol{\tau}: tensor de tensões viscosas (viscous stress tensor).
  • \mathbf{q}: fluxo de calor (heat flux).
  • \mathbf{f}: força volumétrica (por ex. gravidade).
  • Operadores vetoriais que serão usados: \nabla\cdot (divergência), \nabla (gradiente), produto tensorial \otimes.
A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Escrevo o sistema conservativo da Navier–Stokes compressível em forma vetorial (forma padrão utilizada em mecânica dos fluidos). São três equações de conservação (massa, momento linear e energia total):
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\,\mathbf{u}) = 0,
\frac{\partial (\rho\,\mathbf{u})}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\,\mathbf{u}\otimes\mathbf{u}) = -\nabla p + \nabla\cdot\boldsymbol{\tau} + \rho\,\mathbf{f},
\frac{\partial (\rho\,E)}{\partial t} + \nabla\cdot\big((\rho\,E + p)\,\mathbf{u}\big) = \nabla\cdot(\boldsymbol{\tau}\cdot\mathbf{u}) - \nabla\cdot\mathbf{q} + \rho\,\mathbf{f}\cdot\mathbf{u}.
Aqui as equações estão na chamada forma conservativa (útil em CFD e análise de conservação).

Passo 3

Explico detalhadamente o significado de cada termo e operadores usados (para você conseguir reproduzir na prova):
  • \nabla\cdot(\rho\,\mathbf{u}) é a divergência do campo de fluxo de massa; expande-se como somas de derivadas parciais de componentes.
  • \rho\,\mathbf{u}\otimes\mathbf{u} é o tensor de fluxo de momento com componentes (\rho u_i u_j); a divergência desse tensor gera as contribuições convectivas de momento.
  • \boldsymbol{\tau} é o tensor viscoso; para um fluido newtoniano costuma-se usar a forma \boldsymbol{\tau} = \mu\big(\nabla\mathbf{u} + (\nabla\mathbf{u})^{T}\big) - \tfrac{2}{3}\mu(\nabla\cdot\mathbf{u})\,\mathbf{I},onde \mu é a viscosidade dinâmica e \mathbf{I} é a identidade.
  • \mathbf{q} é o fluxo de calor; no caso de lei de Fourier \mathbf{q} = -k\,\nabla T, com condutividade térmica k e temperatura T.
  • E = e + \tfrac{1}{2}|\mathbf{u}|^{2} é a energia total por unidade de massa, com e energia interna específica.

Passo 4

Mostro uma forma alternativa (não-conservativa) da equação de quantidade de movimento para evidenciar a não linearidade convectiva. Expandindo e usando a densidade, a equação de momento pode ser escrita como
\rho\left(\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}\right) = -\nabla p + \nabla\cdot\boldsymbol{\tau} + \rho\,\mathbf{f}.
Aqui aparece o operador material (derivada substantiva) \dfrac{D}{Dt} = \dfrac{\partial}{\partial t} + (\mathbf{u}\cdot\nabla). O termo (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u} é explicitamente quadrático em \mathbf{u} (envolve produto entre componentes de \mathbf{u} e suas derivadas), e é a fonte principal de não linearidade nas equações de movimento.

Passo 5

Identifico explicitamente os termos não lineares, com explicação clara de por que são não lineares:
  • \nabla\cdot(\rho\,\mathbf{u}) na equação de continuidade: é não linear porque contém o produto \rho\,\mathbf{u} (densidade vezes velocidade). Mesmo que \rho e \mathbf{u} sejam campos separados, o produto faz a equação ser não linear no conjunto das incógnitas.
  • \nabla\cdot(\rho\,\mathbf{u}\otimes\mathbf{u}) (ou \rho(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u} na forma primitiva): é não linear — contém produtos entre componentes de \mathbf{u} (quadrático em \mathbf{u}).
  • Termos convectivos na equação de energia: \nabla\cdot\big((\rho E + p)\mathbf{u}\big) contém produtos \rho E\,\mathbf{u} e p\,\mathbf{u} (acoplamento entre densidade, energia/pressão e velocidade).
  • Equação de estado p = p(\rho,e) (por exemplo, gás ideal p=(\gamma-1)\rho e ou p=\rho R T ) acopla p com \rho e e de forma multiplicativa; isso introduz não linearidade adicional ao vincular pressão e densidade/energia.
  • Dependência dos coeficientes de transporte em temperatura/densidade: se \mu=\mu(T,\rho) ou k=k(T,\rho), então \boldsymbol{\tau} e \mathbf{q} tornam-se não lineares (pois \mu ou k multiplicam derivadas de \mathbf{u} ou T e dependem das incógnitas).

Passo 6

Comento sobre o papel das partes que podem ser lineares:
  • Se \mu e k forem constantes e a equação de estado for linear em \rho e e (caso ideal simples), então os termos viscosos \nabla\cdot\boldsymbol{\tau} e de condução -\nabla\cdot\mathbf{q} são linearmente dependentes das derivadas de \mathbf{u} e T (operatorialmente são operadores lineares de segunda ordem sobre \mathbf{u} e T). Porém, a existência dos termos convectivos e do acoplamento massa–momento–energia ainda torna todo o sistema globalmente não linear.
  • Em resumo: viscous + heat-diffusion sozinhos podem ser lineares (se parâmetros constantes), mas o sistema completo é não linear devido aos termos convectivos e ao acoplamento via equação de estado.

Passo 7

Dou exemplos simples para fixar a ideia:
  • Caso incompressível com densidade constante \rho=\text{const} e velocidade pequena, a continuidade reduz a \nabla\cdot\mathbf{u}=0 e a equação de momento fica \rho\left(\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}\right) = -\nabla p + \mu \Delta \mathbf{u} + \rho\,\mathbf{f}.Ainda há o termo (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u} não linear — portanto mesmo incompressível é não linear em \mathbf{u}.
  • Se além disso o escoamento for tão lento que o termo convectivo possa ser desprezado (fluxo Stokes), as equações ficam lineares em \mathbf{u}; isso é uma aproximação válida em alguns limites físicos (número de Reynolds muito baixo).

Passo 8

Resumo pedagógico final antes da resposta concisa:
  • A forma vetorial conservativa do sistema está no Passo 2.
  • As fontes de não linearidade mais importantes são: produtos densidade×velocidade na continuidade, o termo convectivo (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u} (ou \nabla\cdot(\rho\mathbf{u}\otimes\mathbf{u})), os produtos na equação de energia e o acoplamento pela equação de estado; dependência dos coeficientes (viscosidade, condutividade) em T ou \rho também adiciona não linearidade.
  • Moral: o sistema compressível de Navier–Stokes é, em geral, não linear — as únicas situações em que partes se tornam lineares envolvem aproximações drásticas (como desprezar convectivo, assumir coeficientes constantes e/ou linearizar em torno de um estado).

Resposta

\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\,\mathbf{u}) = 0,
\frac{\partial (\rho\,\mathbf{u})}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\,\mathbf{u}\otimes\mathbf{u}) = -\nabla p + \nabla\cdot\boldsymbol{\tau} + \rho\,\mathbf{f},
\frac{\partial (\rho\,E)}{\partial t} + \nabla\cdot\big((\rho\,E + p)\,\mathbf{u}\big) = \nabla\cdot(\boldsymbol{\tau}\cdot\mathbf{u}) - \nabla\cdot\mathbf{q} + \rho\,\mathbf{f}\cdot\mathbf{u}.
Não linear. Termos que tornam o sistema não linear:
  • \nabla\cdot(\rho\,\mathbf{u}) (produto \rho\mathbf{u});
  • \nabla\cdot(\rho\,\mathbf{u}\otimes\mathbf{u}) ou, equivalentemente, \rho(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u} (termo convectivo, quadrático em \mathbf{u});
  • termos convectivos na equação de energia \nabla\cdot((\rho E + p)\mathbf{u}) (produtos envolvendo \rho, E, p, \mathbf{u});
  • equação de estado p=p(\rho,e) (acoplamento não linear entre p,\rho,e);
  • dependência de \mu e k em T ou \rho (faz \boldsymbol{\tau} e \mathbf{q} dependerem não linearmente das incógnitas).

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