For the differential equation
\frac{d y}{d t}=y-t^{2}, \quad y(0)=1,
starting values are known:
\begin{aligned} & y(0.2)=1.2186, \quad y(0.4)=1,4682 \\\ & y(0.6)=1.7379 \end{aligned}
Use the Adams method, fitting cubics with the last four (y, t) values and advance the solution to t=1.2. Compare to the analytical solution.

Passo 1

O enunciado dá a EDO linear
\frac{d y}{d t}=y-t^{2},\quad y(0)=1,
com valores iniciais já obtidos em t=0,0{,}2,0{,}4,0{,}6. O passo é h=0{,}2. Pede-se usar o método de Adams–Bashforth de quarta ordem (que interpola por um polinômio cúbico os quatro últimos pares (t,y)) para avançar até t=1{,}2 e comparar com a solução analítica.

Passo 2

Para achar a solução exata, escrevemos a EDO como
\frac{d y}{d t}-y=-t^{2}.
O fator integrante é e^{-t}, logo
\frac{d}{d t}\bigl(y\,e^{-t}\bigr)=-t^{2}e^{-t}.
Integramos por partes \int t^{2}e^{-t}dt=-e^{-t}(t^{2}+2t+2)+C.
Assim
y\,e^{-t}=e^{-t}(t^{2}+2t+2)+C\quad\Longrightarrow\quad y=t^{2}+2t+2+Ce^{t}.
Com y(0)=1 segue 2+C=1\implies C=-1. Portanto
\boxed{y_{\text{exata}}(t)=t^{2}+2t+2-e^{t}}.

Passo 3

No Adams–Bashforth 4, sejam t_{n-3},t_{n-2},t_{n-1},t_{n} e y_{n-3},y_{n-2},y_{n-1},y_{n} conhecidos, definimos
\;f_{k}=f(t_{k},y_{k})=y_{k}-t_{k}^{2},
e calculamos
\displaystyle y_{n+1} =y_{n}+\frac{h}{24}\Bigl(55f_{n}-59f_{n-1}+37f_{n-2}-9f_{n-3}\Bigr),
com h=0{,}2.

Passo 4

Chamemos
\begin{aligned} & t_{0}=0,\;y_{0}=1,\quad f_{0}=1-0^{2}=1,\\\ & t_{1}=0{,}2,\;y_{1}=1{,}2186,\;f_{1}=1{,}2186-(0{,}2)^{2}=1{,}1786,\\\ & t_{2}=0{,}4,\;y_{2}=1{,}4682,\;f_{2}=1{,}4682-(0{,}4)^{2}=1{,}3082,\\\ & t_{3}=0{,}6,\;y_{3}=1{,}7379,\;f_{3}=1{,}7379-(0{,}6)^{2}=1{,}3779. \end{aligned}
Aplicando para n=3 (avançando a t_{4}=0{,}8):
y_{4}=y_{3}+\frac{0{,}2}{24}\bigl(55f_{3}-59f_{2}+37f_{1}-9f_{0}\bigr) =1{,}7379+0{,}0083333\cdot33{,}20785\approx2{,}01463.
Então f_{4}=2{,}01463-(0{,}8)^{2}=1{,}37463.

Passo 5

Para t_{5}=1{,}0 usamos f_{1},f_{2},f_{3},f_{4}:
y_{5}=y_{4}+\frac{0{,}2}{24}\bigl(55f_{4}-59f_{3}+37f_{2}-9f_{1}\bigr) =2{,}01463+0{,}0083333\cdot32{,}10467\approx2{,}28217.
E f_{5}=2{,}28217-(1{,}0)^{2}=1{,}28217.

Passo 6

Finalmente, para t_{6}=1{,}2 usando f_{2},f_{3},f_{4},f_{5}:
y_{6}=y_{5}+\frac{0{,}2}{24}\bigl(55f_{5}-59f_{4}+37f_{3}-9f_{2}\bigr) =2{,}28217+0{,}0083333\cdot28{,}62461\approx2{,}52071.

Passo 7

A solução exata em t=1{,}2 é
y_{\text{exata}}(1{,}2) =(1{,}2)^{2}+2\cdot1{,}2+2-e^{1{,}2} =5{,}84-e^{1{,}2}\approx5{,}84-3{,}32012=2{,}51988.
O erro absoluto do Adams–Bashforth é
\bigl|y_{6}-y_{\text{exata}}(1{,}2)\bigr| \approx|2{,}52071-2{,}51988|=8,3\times10^{-4}.

Resposta

Aproximação numérica em t=1{,}2 pelo método de Adams–Bashforth 4:
y(1{,}2)\approx2{,}52071.
Valor exato:
y_{\text{exata}}(1{,}2)\approx2{,}51988,
erro absoluto \approx8,3\times10^{-4}.

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