Suponha k>0 e p \in \mathbb{R}. A função real definida f(x)=k \cos (p x), tem período 7 \pi e conjunto imagem [-9,9]. Encontre k e p.

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle f(x)=k\cos(px)
com k>0 e pede que ela tenha período 7\pi e conjunto‐imagem [-9,9].
Matéria: trigonometria de funções periódicas – usamos amplitude e fórmula do período da cossenoide.

Passo 2

A amplitude de \cos(px) multiplicada por k faz a imagem ser
[-|k|,\;|k|].
Como queremos imagem [-9,9], temos |k|=9. Como k>0, k=9.

Passo 3

O período de \cos(px) é
T=\frac{2\pi}{|p|}.
Queremos T=7\pi, logo
\frac{2\pi}{|p|}=7\pi \quad\Longrightarrow\quad |p|=\frac{2\pi}{7\pi}=\frac{2}{7}.
Assim,
p=\pm\frac{2}{7}.

Resposta

k=9 e p=\pm\tfrac{2}{7}.

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