Foram feitas medições regulares na largura de uma piscina, de dois em dois metros, com resultados apresentados na tabela abaixo, na qual as unidades estão em metros. Sabendo que a piscina tem profundidade constante de 1,5 m, use a regra de Simpson para estimar a sua capacidade.
x(m) Largura (L)(m)
0 0
2 6,2
4 7,2
6 6,8
8 5,6
10 5,0
12 4,8
14 4,8
16 0

Passo 1

Então, a gente tem um exercício sobre cálculo de volume de uma piscina usando a regra de Simpson. A tabela mostra a largura da piscina em diferentes pontos ao longo de seu comprimento, medidos a cada 2 metros. Sabemos que a profundidade da piscina é constante em . Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra de Simpson, que é uma técnica de integração numérica para aproximar o valor de integrais definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a capacidade da piscina é igual ao volume, que calculamos integrando a área da seção transversal ao longo do comprimento da piscina. Como a profundidade é constante, o volume V = integral0^16 L(x) times d , dx pode ser calculado pela integral da largura multiplicada pela profundidade em relação a :
Aqui, .

Passo 3

Agora, aplicando a regra de Simpson para estimar a integral, precisamos ter um número par de intervalos. Observando a tabela, estamos de integrala^b f(x) , dx approx De a com intervalos de , totalizando intervalos, que é par.
A fórmula da regra de Simpson é:
Onde , e é o número de intervalos.

Passo 4

Vamos identificar os valores:
  • ,
  • intervalos
Os valores de são: 0, 6,2; 7,2; 6,8; 5,6; 5,0; 4,8; 4,8; 0.

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula:
V approx 23 [ L(0) + 4(L(2) + L(6) + L(10) + L(14)) + 2(L(4) + L(8) + L(12)) + L(16) ] times d
Substituindo os valores:
V approx 23 [ 0 + 4(6,2 + 6,8 + 5,0 + 4,8) + 2(7,2 + 5,6 + 4,8) + 0 ] times 1,5

Passo 6

Calculando os termos:
4(6,2 + 6,8 + 5,0 + 4,8) = 4 times 22,8 = 91,2
2(7,2 + 5,6 + 4,8) = 2 times 17,6 = 35,2
Somando tudo:
0 + 91,2 + 35,2 + 0 = 126,4
Agora, multiplicamos por V approx 23 times 126,4 times 1,5 e pela profundidade:

Passo 7

Calculando:
23 times 126,4 = 84,2667
84,2667 times 1,5 = 126,4 , m^3

Resposta

A capacidade estimada da piscina é de aproximadamente .

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