Seja uma função
. Usando Regar de Simpson, dividindo o intervalo
em 10 intervalos iguai, determine um valor aproximado para
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente precisa calcular a integral da função
no intervalo de 0 a 10 usando a Regra de Simpson. A Regra de Simpson é uma técnica de integrais numéricas que aproxima o valor da integral usando parábolas. Para isso, vamos dividir o intervalo
em 10 partes iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a Regra de Simpson. Ela é usada para aproximar integrais definidas quando é difícil ou impossível encontrar uma antiderivada da função. A ideia é dividir o intervalo de integração em número par de subintervalos, calcular os valores da função nos pontos divididos e aplicar a fórmula da Regra de Simpson. No nosso caso, temos 10 subintervalos, que é um número par, então podemos usar essa regra.
Passo 3
Agora, vamos calcular o tamanho de cada subintervalo, que chamamos de
. A fórmula para isso é:
Onde:
-
(início do intervalo) -
(fim do intervalo) -
(número de subintervalos)
Substituindo os valores:
Então, cada subintervalo tem comprimento 1.
Passo 4
Agora, vamos identificar os pontos onde vamos avaliar a função
. Esses pontos são chamados de nós e são dados por:
Calculando:
Passo 5
Vamos calcular os valores de
em cada um desses pontos:
Então:
Observação: Os valores de
crescem muito rapidamente, especialmente para
grandes como 10. Portanto,
é um número extremamente grande.
Passo 6
Com todos os valores de
calculados, vamos aplicar a fórmula da Regra de Simpson:
Onde:
- A soma com coeficiente 4 é para os índices ímpares.
- A soma com coeficiente 2 é para os índices pares, exceto
e .
Passo 7
Vamos calcular cada parte da soma:
Passo 8
Agora, substituímos esses valores na fórmula:
Passo 9
Devido aos valores extremamente grandes envolvidos, especialmente
, que é aproximadamente
, o termo
domina a soma. Assim, a aproximação da integral será principalmente influenciada por esse valor.
Resposta
Aproximadamente, o valor da integral é
.