Seja uma função f:[0,10] R com f(x)=e^x^2. Usando Regar de Simpson, dividindo o intervalo [0,10] em 10 intervalos iguai, determine um valor aproximado para
integral0^10 f(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente precisa calcular a integral da função no intervalo de 0 a 10 usando a Regra de Simpson. A Regra de Simpson é uma técnica de integrais numéricas que aproxima o valor da integral usando parábolas. Para isso, vamos dividir o intervalo em 10 partes iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a Regra de Simpson. Ela é usada para aproximar integrais definidas quando é difícil ou impossível encontrar uma antiderivada da função. A ideia é dividir o intervalo de integração em número par de subintervalos, calcular os valores da função nos pontos divididos e aplicar a fórmula da Regra de Simpson. No nosso caso, temos 10 subintervalos, que é um número par, então podemos usar essa regra.

Passo 3

Agora, vamos calcular o tamanho de cada subintervalo, que chamamos de h = b - an . A fórmula para isso é:
h = 10 - 010 = 1
Onde:
  • (início do intervalo)
  • (fim do intervalo)
  • (número de subintervalos)
Substituindo os valores:
Então, cada subintervalo tem comprimento 1.

Passo 4

Agora, vamos identificar os pontos onde vamos avaliar a função xi = a + i cdot h para i = 0, 1, 2, ldots, 10 . Esses pontos são chamados de nós e são dados por:
x0 &= 0 x1 &= 1 x2 &= 2 &vdots x10 &= 10
Calculando:

Passo 5

Vamos calcular os valores de f(xi) = e^xi^2 em cada um desses pontos:
f(x0) &= e^0^2 = e^0 = 1 f(x1) &= e^1^2 = e^1 approx 2.7183 f(x2) &= e^2^2 = e^4 approx 54.5982 &vdots f(x10) &= e^10^2 = e^100 approx 2.688 times 10^43
Então:
Observação: Os valores de crescem muito rapidamente, especialmente para grandes como 10. Portanto, é um número extremamente grande.

Passo 6

Com todos os valores de integrala^b f(x) dx approx h3 [ f(x0) + 4 sumímpar f(xi) + 2 sumpar f(xi) + f(xn) ] calculados, vamos aplicar a fórmula da Regra de Simpson:
í
Onde:
  • A soma com coeficiente 4 é para os índices ímpares.
  • A soma com coeficiente 2 é para os índices pares, exceto e .

Passo 7

Vamos calcular cada parte da soma:
Soma dos ímpares &= f(x1) + f(x3) + f(x5) + f(x7) + f(x9) &= 2.7183 + e^9 + e^25 + e^49 + e^81 &approx 2.7183 + 8103.0839 + 7.2005 times 10^10 + 1.788 times 10^21 + 3.009 times 10^35 Soma dos pares &= f(x2) + f(x4) + f(x6) + f(x8) &= 54.5982 + e^16 + e^36 + e^64 &approx 54.5982 + 8.8861 times 10^6 + 4.3112 times 10^15 + 1.166 times 10^27 í

Passo 8

Agora, substituímos esses valores na fórmula:
integral0^10 e^x^2 dx &approx 13 [ 1 + 4 times (2.7183 + 8103.0839 + 7.2005 times 10^10 + 1.788 times 10^21 + 3.009 times 10^35) & + 2 times (54.5982 + 8.8861 times 10^6 + 4.3112 times 10^15 + 1.166 times 10^27) + e^100 ]

Passo 9

Devido aos valores extremamente grandes envolvidos, especialmente , que é aproximadamente , o termo domina a soma. Assim, a aproximação da integral será principalmente influenciada por esse valor.

Resposta

Aproximadamente, o valor da integral é .

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