Suponhamos que T(x, y)=4 x^2+y^2 represente uma distribuição de temperatura no plano x y. Determine uma parametrização para a trajetória descrita por um ponto P que se desloca, a partir do ponto (1,1), sempre na direção e sentido de máximo crescimento da temperatura.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de temperatura $ T(x, y) = 4x^{2} + y^{2} $ no plano $ xy $. O exercício pede para encontrar uma forma de descrever o caminho que um ponto $ P $, começando em $ (1,1) $, segue sempre na direção de maior aumento da temperatura. Para resolver isso, vamos usar o gradiente da função, que aponta exatamente para a direção onde a função cresce mais rápido.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o gradiente da função $ T(x, y) $. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $. Matemáticamente, o gradiente de $ T $ é dado por:
T(x, y)

Passo 3

Vamos calcular essas derivadas parciais:
partial Tpartial x = 8x
partial Tpartial y = 2y
Então, o gradiente fica:
nabla T = (8x, 2y)
Isso significa que, em qualquer ponto $ (x, y) $, a direção de maior crescimento da temperatura é na direção do vetor $ (8x, 2y) $.

Passo 4

O ponto $ P $ está se movendo sempre na direção do gradiente. Para descrever esse movimento, vamos usar equações diferenciais que relacionam as taxas de variação de $ x $ e $ y $ com o gradiente:
P
x
Aqui, $ t $ pode ser interpretado como o tempo.

Passo 5

Agora, vamos resolver essas equações diferenciais. Elas são do tipo separável, o que significa que podemos separar as variáveis e integrar.
Primeiro, para $ \frac{dx}{dt} = 8x $:
dxdt = 8x
Integrando ambos os lados:
dxx = 8dt
Exponenciando para resolver para $ x $:
ln|x| = 8t + C
Usando a condição inicial $ x(0) = 1 $:
x
Então:
x = C e^8t

Passo 6

Agora, resolvemos para $ y $ na equação $ \frac{dy}{dt} = 2y $:
y
Integrando ambos os lados:
dydt = 2y
Exponenciando para resolver para $ y $:
dyy = 2dt
Usando a condição inicial $ y(0) = 1 $:
ln|y| = 2t + C
Então:
y

Resposta

A parametrização da trajetória do ponto $ P $ é dada por:
P
x(t) = e^8t
Ou seja, conforme o tempo $ t $ avança, as coordenadas de $ P $ seguem essas equações exponenciais.

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