Suponhamos que
represente uma distribuição de temperatura no plano
. Determine uma parametrização para a trajetória descrita por um ponto
que se desloca, a partir do ponto
, sempre na direção e sentido de máximo crescimento da temperatura.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de temperatura $ T(x, y) = 4x^{2} + y^{2} $ no plano $ xy $. O exercício pede para encontrar uma forma de descrever o caminho que um ponto $ P $, começando em $ (1,1) $, segue sempre na direção de maior aumento da temperatura. Para resolver isso, vamos usar o gradiente da função, que aponta exatamente para a direção onde a função cresce mais rápido.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular o gradiente da função $ T(x, y) $. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $. Matemáticamente, o gradiente de $ T $ é dado por:
Passo 3
Vamos calcular essas derivadas parciais:
Então, o gradiente fica:
Isso significa que, em qualquer ponto $ (x, y) $, a direção de maior crescimento da temperatura é na direção do vetor $ (8x, 2y) $.
Passo 4
O ponto $ P $ está se movendo sempre na direção do gradiente. Para descrever esse movimento, vamos usar equações diferenciais que relacionam as taxas de variação de $ x $ e $ y $ com o gradiente:
Aqui, $ t $ pode ser interpretado como o tempo.
Passo 5
Agora, vamos resolver essas equações diferenciais. Elas são do tipo separável, o que significa que podemos separar as variáveis e integrar.
Primeiro, para $ \frac{dx}{dt} = 8x $:
Integrando ambos os lados:
Exponenciando para resolver para $ x $:
Usando a condição inicial $ x(0) = 1 $:
Então:
Passo 6
Agora, resolvemos para $ y $ na equação $ \frac{dy}{dt} = 2y $:
Integrando ambos os lados:
Exponenciando para resolver para $ y $:
Usando a condição inicial $ y(0) = 1 $:
Então:
Resposta
A parametrização da trajetória do ponto $ P $ é dada por:
Ou seja, conforme o tempo $ t $ avança, as coordenadas de $ P $ seguem essas equações exponenciais.