Foram instaladas lâmpadas de uma certa marca. O tempo de duração segue distribuição exponencial de média 1500 h .
(17.1) Qual a probabilidade de uma lâmpada durar mais que 1200 h ?
(17.2) Se três lâmpadas foram instaladas, qual a probabilidade de que após 1200 h seja necessário substituir 2 delas?
(17.3) Qual o número mínimo de lâmpadas que devem ser instaladas de maneira que após 1200 h a probabilidade de ao menos uma funcionar seja 0,90 ?

Passo 1

O problema trata de lâmpadas cuja vida útil X segue uma distribuição exponencial com média 1500 h. Vamos precisar do parâmetro de taxa
\lambda = \frac{1}{1500},
da função de sobrevivência
P(X>t)=e^{-\lambda t},
e de modelos de contagem binomial para várias lâmpadas independentes.

Passo 2

Para a distribuição exponencial com taxa \lambda, a probabilidade de durar mais que t horas é
P(X>t)=\exp(-\lambda t).

Passo 3

No caso t=1200 h e \lambda=1/1500,
P(X>1200)=\exp\bigl(-\tfrac{1200}{1500}\bigr)=\exp(-0.8)\approx0{,}4493.

Passo 4

Para três lâmpadas independentes, a probabilidade de cada uma falhar até 1200 h é
q = 1 - P(X>1200)=1 - e^{-0.8}\approx0{,}5507.
Queremos exatamente 2 falhas em 3, que é dado por distribuição binomial:
P(\text{2 falhas})=\binom{3}{2}q^2(1-q).

Passo 5

Substituindo q\approx0{,}5507 e 1-q\approx0{,}4493:
P(\text{2 falhas}) =3\,(0.5507)^2\,(0.4493) \approx3\cdot0.3032\cdot0.4493 \approx0{,}4090.

Passo 6

Para n lâmpadas independentes, a probabilidade de que ao menos uma sobreviva além de 1200 h é
1 - q^n.
Queremos
1 - q^n \ge0{,}90 \quad\Longrightarrow\quad q^n \le0{,}10 \quad\Longrightarrow\quad n \ge \frac{\ln(0{,}10)}{\ln(q)}.

Passo 7

Com q\approx0{,}5507,
n \ge \frac{\ln(0{,}10)}{\ln(0{,}5507)} \approx \frac{-2{,}3026}{-0{,}5967} \approx3{,}86,
logo o menor inteiro que satisfaz é n=4.

Resposta

(17.1) \displaystyle P(X>1200)=e^{-0.8}\approx0{,}4493.
(17.2) \displaystyle P(\text{2 falhas})=3\,(0.5507)^2\,(0.4493)\approx0{,}4090.
(17.3) O número mínimo é 4 lâmpadas.

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