FORAM OBSERVADAS 34 FAMÍLIAS E ANOTADO …
Foram observadas 34 famílias e anotado o “número de filhos do sexo masculino” que cada uma delas tem em uma distribuição de frequência variável discreta. Determine a variância.
Qte. de Meninos (xi)
Familias Freq. Abs. (fi)
0
2
1
6
2
10
3
12
4
4
Total
34
Obs.: A notação ^2 significa: ao quadrado.
1,09 filhos por família
1,07 filhos^2 por família^2
1,09 filhos
por família^2
1,18 filhos
por familia^2
1,18 filhos por família
| Qte. de Meninos (xi) | Familias Freq. Abs. (fi) |
| 0 | 2 |
| 1 | 6 |
| 2 | 10 |
| 3 | 12 |
| 4 | 4 |
| Total | 34 |
Passo 1
O enunciado dá uma distribuição de frequências com o número de meninos por família
e a frequência absoluta
. Pede-se: determinar a variância. Dados fornecidos (peguei os valores da tabela do enunciado):
Aqui estão as informações relevantes que vamos usar:
Passo 2
O que é a variância e quais fórmulas podemos usar (explicação didática):
- A variância mede quanto, em média, os valores se afastam da média. Se estamos tratando os
registros como toda a população observada, a variância populacional é
onde
é a média amostral (ou média da população, aqui a mesma) e
é o total de observações.
- Uma forma algébrica equivalente, que costuma facilitar contas, é a fórmula dos momentos:
Nessas fórmulas:
é o número de meninos (cada classe),
é a frequência absoluta da classe
,
é o total de famílias,
é a média
.
Observação importante sobre o tipo de variância: existe também a variância amostral não viciada (quando queremos estimar a variância de uma população a partir de uma amostra), definida por
Como o enunciado é de múltipla escolha e não especifica claramente “população” ou “amostra”, vou calcular ambas as quantidades e, ao final, indicar qual delas corresponde à alternativa correta do enunciado. Vou primeiro calcular
e os somatórios necessários.
Passo 3
Calcular a média
. Primeiro o somatório
. Calculei termo a termo (peguei os
e
da tabela):
Logo a média é
Interpretação: em média cada família tem cerca de
meninos.
Passo 4
Calcular
(necessário para a fórmula dos momentos). De novo termo a termo:
Então o primeiro momento quadrático (média dos quadrados) é
Passo 5
Calcular a variância populacional usando a fórmula dos momentos. Substituindo:
Colocando em denominador comum:
Logo
Portanto a variância populacional é
(unidade:
, ou escrito
).
Passo 6
Calcular a variância amostral não viciada (se for o caso de se estar estimando a variância da população a partir da amostra), que usa divisor
. Primeiro o numerador
é igual a
, ou seja:
Agora:
Arredondando para duas casas decimais obtemos
.
Justificativa de escolha entre as duas: se o enunciado trata os
casos como toda a população observada, a variância correta é
. Se os
casos são uma amostra usada para estimar a variância da população maior, então a prática estatística é usar
com divisor
(variância amostral não viciada), que dá
. Como as alternativas fornecidas no enunciado incluem
com unidade ao quadrado, a alternativa correta da lista corresponde a esse valor arredondado de
.