FORAM OBSERVADAS 34 FAMÍLIAS E ANOTADO …
Foram observadas 34 famílias e anotado o “número de filhos do sexo masculino” que cada uma delas tem em uma distribuição de frequência variável discreta. Determine a variância.
Qte. de Meninos (xi) Familias Freq. Abs. (fi)
0 2
1 6
2 10
3 12
4 4
Total 34
Obs.: A notação ^2 significa: ao quadrado.
\bigcirc 1,09 filhos por família
\bigcirc 1,07 filhos^2 por família^2
\bigcirc 1,09 filhos { }^{\wedge} 2 por família^2
\bigcirc 1,18 filhos { }^{\wedge} 2 por familia^2
\bigcirc 1,18 filhos por família

Passo 1

O enunciado dá uma distribuição de frequências com o número de meninos por família x_i e a frequência absoluta f_i. Pede-se: determinar a variância. Dados fornecidos (peguei os valores da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|c} x_i & f_i\\hline 0 & 2\\\\ 1 & 6\\\\ 2 & 10\\\\ 3 & 12\\\\ 4 & 4\\hline \text{Total} & 34 \end{array}
Aqui estão as informações relevantes que vamos usar:
N=\sum_i f_i=34,
\text{valores }x_i\in\{0,1,2,3,4\},
\text{frequências }f_i\in\{2,6,10,12,4\}.ê

Passo 2

O que é a variância e quais fórmulas podemos usar (explicação didática):
  • A variância mede quanto, em média, os valores se afastam da média. Se estamos tratando os 34 registros como toda a população observada, a variância populacional é
\sigma^2=\frac{1}{N}\sum_i f_i\,(x_i-\bar{x})^2,
onde \bar{x} é a média amostral (ou média da população, aqui a mesma) e N é o total de observações.
  • Uma forma algébrica equivalente, que costuma facilitar contas, é a fórmula dos momentos:
\sigma^2=\frac{1}{N}\sum_i f_i x_i^2 - \bar{x}^2.
Nessas fórmulas:
\;x_i é o número de meninos (cada classe),
\;f_i é a frequência absoluta da classe x_i,
\;N é o total de famílias,
\;\bar{x} é a média \bar{x}=\dfrac{1}{N}\sum_i f_i x_i.
Observação importante sobre o tipo de variância: existe também a variância amostral não viciada (quando queremos estimar a variância de uma população a partir de uma amostra), definida por
s^2=\frac{1}{N-1}\sum_i f_i\,(x_i-\bar{x})^2.
Como o enunciado é de múltipla escolha e não especifica claramente “população” ou “amostra”, vou calcular ambas as quantidades e, ao final, indicar qual delas corresponde à alternativa correta do enunciado. Vou primeiro calcular \bar{x} e os somatórios necessários.

Passo 3

Calcular a média \bar{x}. Primeiro o somatório \sum_i f_i x_i. Calculei termo a termo (peguei os x_i e f_i da tabela):
\sum_i f_i x_i = 0\cdot 2 + 1\cdot 6 + 2\cdot 10 + 3\cdot 12 + 4\cdot 4 = 0 + 6 + 20 + 36 + 16 = 78.
Logo a média é
\bar{x}=\frac{\sum_i f_i x_i}{N}=\frac{78}{34}=\frac{39}{17}\approx 2,2941.
Interpretação: em média cada família tem cerca de 2{,}2941 meninos.

Passo 4

Calcular \sum_i f_i x_i^2 (necessário para a fórmula dos momentos). De novo termo a termo:
\sum_i f_i x_i^2 = 0^2\cdot 2 + 1^2\cdot 6 + 2^2\cdot 10 + 3^2\cdot 12 + 4^2\cdot 4
=0 + 6 + 40 + 108 + 64 = 218.
Então o primeiro momento quadrático (média dos quadrados) é
\frac{1}{N}\sum_i f_i x_i^2 = \frac{218}{34} = \frac{109}{17}\approx 6{,}4118.

Passo 5

Calcular a variância populacional usando a fórmula dos momentos. Substituindo:
\sigma^2=\frac{1}{N}\sum_i f_i x_i^2 - \bar{x}^2 = \frac{109}{17} - \left(\frac{39}{17}\right)^2.
Colocando em denominador comum:
\frac{109}{17}=\frac{109\cdot 17}{289}=\frac{1853}{289},
\left(\frac{39}{17}\right)^2=\frac{1521}{289}.
Logo
\sigma^2=\frac{1853}{289}-\frac{1521}{289}=\frac{332}{289}\approx 1{,}1484.
Portanto a variância populacional é \displaystyle \sigma^2=\frac{332}{289}\approx 1{,}1484 (unidade: \text{(filhos por família)}^2í, ou escrito \text{filhos}^2/\text{família}^2í).

Passo 6

Calcular a variância amostral não viciada (se for o caso de se estar estimando a variância da população a partir da amostra), que usa divisor N-1. Primeiro o numerador \sum_i f_i (x_i-\bar{x})^2 é igual a N\cdot\sigma^2, ou seja:
\sum_i f_i (x_i-\bar{x})^2 = N\cdot \sigma^2 = 34\cdot\frac{332}{289}=\frac{11288}{289}.
Agora:
s^2=\frac{1}{N-1}\sum_i f_i (x_i-\bar{x})^2=\frac{1}{33}\cdot\frac{11288}{289}=\frac{11288}{9537}\approx 1{,}1838.
Arredondando para duas casas decimais obtemos s^2\approx 1{,}18.
Justificativa de escolha entre as duas: se o enunciado trata os 34 casos como toda a população observada, a variância correta é \sigma^2\approx 1{,}1484. Se os 34 casos são uma amostra usada para estimar a variância da população maior, então a prática estatística é usar s^2 com divisor N-1 (variância amostral não viciada), que dá s^2\approx 1{,}1838. Como as alternativas fornecidas no enunciado incluem 1{,}18 com unidade ao quadrado, a alternativa correta da lista corresponde a esse valor arredondado de s^2.

Resposta

1{,}18\\ \text{filhos}^2/\text{família}^2í

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