Uma amostra aleatória de 12 empresas, clientes de um mesmo fornecedor, divulgou os valores abaixo, referentes ao valor (em \mathrm{R} \ 1000,00$ ) que cada uma dessas empresas gastou com manutenção na reposição de seus estoques durante o primeiro semestre de 2009.
5 7 5 6,1 7,5 8,6 7,52 5,5 6,2 6,6 7,9 8,4
Calcule o desvio padrão.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o desvio padrão para a amostra de 12 empresas. Os dados fornecidos (valores em \mathrm{R}\$\;1000{,}00) estão na tabela e são, conforme peguei da tabela do enunciado:
5,\;7,\;5,\;6{,}1,\;7{,}5,\;8{,}6,\;7{,}52,\;5{,}5,\;6{,}2,\;6{,}6,\;7{,}9,\;8{,}4.
Portanto:
n=12
A única pergunta é: calcular o desvio padrão dessa amostra.

Passo 2

Primeiro vou calcular a média amostral \bar{x}. A média é a soma dos valores dividida pelo número de observações:
\bar{x}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
Calculo a soma dos dados (usei os números diretamente da tabela):
\sum_{i=1}^{12} x_i = 81{,}32.
Logo
\bar{x}=\dfrac{81{,}32}{12}=6{,}776\overline{6}\approx 6{,}7767.

Passo 3

Agora explico o que é o desvio padrão amostral e qual fórmula usar. Quando temos uma amostra e queremos estimar a variabilidade dos dados na amostra, usamos o desvio padrão amostral s, definido por
s=\sqrt{\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\bigl(x_i-\bar{x}\bigr)^2}.
Aqui:
  • x_i é cada observação;
  • \bar{x} é a média amostral;
  • n é o tamanho da amostra;
  • dividimos por n-1 (e não por n) porque queremos um estimador não-viesado da variância populacional quando usamos uma amostra — esse ajuste chama-se correção de Bessel. Em termos práticos para a prova: se os dados vieram de uma “amostra”, use n-1.

Passo 4

Para facilitar os cálculos manualmente, uso a fórmula computacional equivalente (mesma coisa, só reescrita):
s^{2}=\dfrac{1}{n-1}\Biggl(\sum_{i=1}^{n} x_i^{2} - n\bar{x}^{2}\Biggr).
Essa identidade vem de expandir \sum(x_i-\bar{x})^2 e simplificar. Vou aplicar essa fórmula porque já calculei \bar{x} e é mais direto computar \sum x_i^2.

Passo 5

Calculo \sum_{i=1}^{n} x_i^{2}. Usei cada valor da tabela para formar os quadrados:
\begin{aligned} 5^{2}&=25{,}00,\\\\ 7^{2}&=49{,}00,\\\\ 5^{2}&=25{,}00,\\\\ 6{,}1^{2}&=37{,}21,\\\\ 7{,}5^{2}&=56{,}25,\\\\ 8{,}6^{2}&=73{,}96,\\\\ 7{,}52^{2}&=56{,}5504,\\\\ 5{,}5^{2}&=30{,}25,\\\\ 6{,}2^{2}&=38{,}44,\\\\ 6{,}6^{2}&=43{,}56,\\\\ 7{,}9^{2}&=62{,}41,\\\\ 8{,}4^{2}&=70{,}56. \end{aligned}
Somando todos esses quadrados (novamente, usei os números da tabela):
\sum_{i=1}^{12} x_i^{2}=568{,}1904.

Passo 6

Agora aplico a fórmula computacional. Já tenho \sum x_i^{2}=568{,}1904, n=12 e \bar{x}=\dfrac{81{,}32}{12}=6{,}776\overline{6}.
Calculo n\bar{x}^2:
\bar{x}=\dfrac{2033}{300}\quad\text{(forma fracionária exata)},\qquad \bar{x}^2=\dfrac{4\,133\,089}{90\,000}\approx 45{,}9232111111,á
n\bar{x}^2=12\cdot 45{,}9232111111\approx 551{,}0785333333.
Então a soma dos quadrados dos desvios é
\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2=\sum x_i^{2}-n\bar{x}^{2} =568{,}1904-551{,}0785333333=17{,}1118666667.
Agora a variância amostral:
s^{2}=\dfrac{1}{n-1}\bigl(\sum x_i^{2}-n\bar{x}^{2}\bigr) =\dfrac{17{,}1118666667}{11}=1{,}5556242424\ldots

Passo 7

Por fim o desvio padrão amostral é a raiz quadrada da variância:
s=\sqrt{1{,}5556242424\ldots}\approx 1{,}24724\ldots
Arredondando de forma razoável para três casas decimais:
s\approx 1{,}247.
Interpretação rápida e motivação: isso significa que, entre as empresas da amostra, os gastos (medidos em \mathrm{R}\$\;1000) têm uma dispersão típica de cerca de \,1{,}247 (isto é, aproximadamente \mathrm{R}\$1.247 no mesmo formato das observações).

Resposta

\;s\approx 1{,}247 (em \mathrm{R}\$\,1000)

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