Foram observados o valor gasto na cantina de cinco alunos. Para estimar o valor médio gasto na cantina da escola é necessário minimizar a função
Q(\widehat{\theta})=\widehat{\mathbf{e}}^{\top} \widehat{\mathbf{e}}
em que
\widehat{\mathbf{e}}=\left[\begin{array}{c} 5-\widehat{\theta} \\\\ 8-\widehat{\theta} \\\\ 11-\widehat{\theta} \\\\ 7-\widehat{\theta} \\\\ 10-\widehat{\theta} . \end{array}\right]
Encontre o valor de \widehat{\theta} que minimiza Q(\widehat{\theta}). Esse valor corresponde ao valor médio gasto na cantina.

Passo 1

O enunciado fornece as observações dos gastos na cantina de cinco alunos:
Y = \{5,\,8,\,11,\,7,\,10\}
e pede o valor \widehat{\theta} que minimiza
Q(\widehat{\theta}) = \widehat{\mathbf{e}}^{\top}\widehat{\mathbf{e}}
onde
\widehat{\mathbf{e}} = \begin{bmatrix} 5 - \widehat{\theta}\\\\ 8 - \widehat{\theta}\\\\ 11 - \widehat{\theta}\\\\ 7 - \widehat{\theta}\\\\ 10 - \widehat{\theta} \end{bmatrix}.
O conteúdo aqui é ajuste por mínimos quadrados para um modelo constante, e sabemos que a solução é a média amostral.

Passo 2

Escrevemos explicitamente
Q(\widehat{\theta}) = \sum_{i=1}^{5} (Y_i - \widehat{\theta})^2 = (5-\widehat{\theta})^2 + (8-\widehat{\theta})^2 + (11-\widehat{\theta})^2 + (7-\widehat{\theta})^2 + (10-\widehat{\theta})^2.

Passo 3

Para minimizar, calculamos a derivada de Q em relação a \widehat{\theta} e igualamos a zero:
\frac{dQ}{d\widehat{\theta}} = \sum_{i=1}^{5} 2(\widehat{\theta} - Y_i) = 2\Bigl(5\,\widehat{\theta} - \sum_{i=1}^{5}Y_i\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad 5\,\widehat{\theta} - \sum_{i=1}^{5}Y_i = 0.

Passo 4

Dessa condição segue
\widehat{\theta} = \frac{1}{5}\sum_{i=1}^{5}Y_i,
ou seja, a média dos valores observados.

Passo 5

Calculamos a soma dos gastos:
\sum_{i=1}^{5}Y_i = 5 + 8 + 11 + 7 + 10 = 41,
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\widehat{\theta} = \frac{41}{5} = 8,2.

Resposta

\widehat{\theta} = 8,2 (valor médio gasto na cantina).

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