Mostre que o conjunto W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid 2 x-z=0\right\} é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado define
W = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid 2x - z = 0\}
Queremos mostrar que W é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3. Para isso basta verificar três propriedades:
  1. W\neq\varnothing (contém o vetor zero),
  2. W é fechado sob soma de vetores,
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que o vetor zero (0,0,0) está em W. De fato,
2\cdot 0 - 0 = 0,
logo (0,0,0)\in W e W\neq\varnothing.

Passo 3

Fechamento sob soma: sejam
u=(x_1,y_1,z_1)\in W \quad\text{e}\quad v=(x_2,y_2,z_2)\in W,
isto é, 2x_1 - z_1 = 0 e 2x_2 - z_2 = 0. Então
u+v = (x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2)
e
2(x_1+x_2) - (z_1+z_2) = (2x_1 - z_1) + (2x_2 - z_2) = 0 + 0 = 0.
Portanto u+v\in W.

Passo 4

Fechamento sob escalar: seja \alpha\in\mathbb{R} e
u=(x,y,z)\in W,
isto é, 2x - z = 0. Então
\alpha u = (\alpha x,\;\alpha y,\;\alpha z)
e
2(\alpha x) - (\alpha z) = \alpha\bigl(2x - z\bigr) = \alpha\cdot 0 = 0.
Logo \alpha u\in W.

Resposta

Como W contém o vetor zero e é fechado sob soma e escalar, concluímos que W é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.

Exercícios relacionados