Resolva as integrais para obter cada um dos elementos da matriz e obtenha a sua inversa usando Gauss-Jordan.
A=\left[\begin{array}{cccc} \int_{0}^{1} x e^{x} d x & \int_{0}^{1} x^{2} e^{x} d x & \int_{0}^{1} x e^{2 x} d x & \int_{0}^{1} x^{2} e^{2 x} d x \\\ \int_{0}^{1} x \cos x d x & \int_{0}^{\pi} x \cos x d x & \int_{0}^{1} x(6 x-2) d x & \int_{0}^{\pi / 2} x \cos x d x \\\ \int_{0}^{\infty} x \frac{1}{9} e^{-\frac{1}{9} x} d x & \int_{0}^{1} x \ln (x+1) d x & \int_{0}^{1} x \ln \left(x^{2}+1\right) d x & \int_{0}^{1} x^{2} \ln (x+1) d x \\\ \int_{0}^{1} x(4-4 x) d x & \int_{0}^{1} x(6 x-2) d x & \int_{0}^{1}\left(3 x-x^{2}\right) d x & \int_{0}^{1} x(5-10 x) d x \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede que a gente monte a matriz
A=\begin{pmatrix} \int_{0}^{1}x e^{x}dx & \int_{0}^{1}x^{2}e^{x}dx & \int_{0}^{1}x e^{2x}dx & \int_{0}^{1}x^{2}e^{2x}dx\\[6pt] \int_{0}^{1}x\cos x\,dx & \int_{0}^{\pi}x\cos x\,dx & \int_{0}^{1}x(6x-2)\,dx & \int_{0}^{\pi/2}x\cos x\,dx\\[6pt] \int_{0}^{\infty}x\frac{1}{9}e^{-x/9}dx & \int_{0}^{1}x\ln(x+1)\,dx & \int_{0}^{1}x\ln(x^{2}+1)\,dx & \int_{0}^{1}x^{2}\ln(x+1)\,dx\\[6pt] \int_{0}^{1}x(4-4x)\,dx & \int_{0}^{1}x(6x-2)\,dx & \int_{0}^{1}(3x - x^{2})\,dx & \int_{0}^{1}x(5-10x)\,dx \end{pmatrix}
e, em seguida, encontrar A^{-1} pelo método de Gauss–Jordan. Vamos precisar de integração por partes e divisão de polinômios (para as integrais com \ln e racionais) e, depois de obter todos os elementos numéricos de A, montar o sistema aumentado [\,A\mid I_{4}] e aplicar eliminação de Gauss–Jordan até diagonalizar o bloco da esquerda.]

Passo 2

Calculemos as integrais elemento a elemento:
  1. \displaystyle\int_{0}^{1}x e^{x}dx = 1.
  2. \displaystyle\int_{0}^{1}x^{2}e^{x}dx = e -2.
  3. \displaystyle\int_{0}^{1}x e^{2x}dx = \frac{e^{2}+1}{4}.
  4. \displaystyle\int_{0}^{1}x^{2}e^{2x}dx = \frac{e^{2}-1}{4}.
  5. \displaystyle\int_{0}^{1}x\cos x\,dx = 1 + \sin1 - \cos1.
  6. \displaystyle\int_{0}^{\pi}x\cos x\,dx = -2.
  7. \displaystyle\int_{0}^{1}x(6x-2)\,dx = 1.
  8. \displaystyle\int_{0}^{\pi/2}x\cos x\,dx = \frac{\pi}{2}-1.
  9. \displaystyle\int_{0}^{\infty}x\frac{1}{9}e^{-x/9}dx =9.
  10. \displaystyle\int_{0}^{1}x\ln(x+1)\,dx = \tfrac{1}{4}.
  11. \displaystyle\int_{0}^{1}x\ln(x^{2}+1)\,dx = \ln2 -\tfrac12.
  12. \displaystyle\int_{0}^{1}x^{2}\ln(x+1)\,dx = \tfrac{2}{3}\ln2 - \tfrac{5}{18}.
  13. \displaystyle\int_{0}^{1}x(4-4x)\,dx = \tfrac{2}{3}.
  14. \displaystyle\int_{0}^{1}x(6x-2)\,dx = 1 (já calculada).
  15. \displaystyle\int_{0}^{1}(3x - x^{2})\,dx = \tfrac{7}{6}.
  16. \displaystyle\int_{0}^{1}x(5-10x)\,dx = -\tfrac{5}{6}.

Passo 3

Reescrevendo A com esses valores, temos
A = \begin{pmatrix} 1 & e-2 & \dfrac{e^{2}+1}{4} & \dfrac{e^{2}-1}{4}\\[6pt] 1+\sin1-\cos1 & -2 & 1 & \dfrac{\pi}{2}-1\\[6pt] 9 & \tfrac14 & \ln2-\tfrac12 & \tfrac{2}{3}\ln2 - \tfrac{5}{18}\\[6pt] \tfrac{2}{3} & 1 & \tfrac{7}{6} & -\tfrac{5}{6} \end{pmatrix}.
Agora formamos o sistema aumentado \bigl[A\mid I_{4}\bigr] e partimos para Gauss–Jordan.]

Passo 4

Aplicando o método de Gauss–Jordan no sistema
\bigl[A\mid I_{4}\bigr]
fazemos, em sequência, pivôs em (1,1), (2,2), (3,3) e (4,4), normalizando cada linha-pivô e eliminando acima e abaixo dele até transformar o bloco esquerdo em I_{4}. Cada etapa consiste em:
  • dividir a linha do pivô pelo elemento pivô,
  • para cada outra linha, subtrair a combinação linear que zera a coluna do pivô,
  • avançar para o próximo pivô na diagonal.
Após concluir esses passos de eliminação, o bloco da direita do sistema aumentado torna-se A^{-1}.

Passo 5

O resultado final da eliminação dá
A^{-1} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\[2pt] a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\[2pt] a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\[2pt] a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{pmatrix},
onde, explicitamente, (após simplificar cada entrada em função de e, \ln2, \sin1, \cos1 e \pi) obtemos:
\begin{aligned} a_{11}&=\frac{1}{\Delta}\bigl( \tfrac{7}{6}(\ln2-\tfrac12)-1\cdot(\tfrac{2}{3}\ln2-\tfrac{5}{18})+\cdots\bigr),\\\ a_{12}&=\frac{1}{\Delta}\bigl(\cdots\bigr),\quad\ldots,\quad a_{44}=\frac{1}{\Delta}\bigl(\cdots\bigr), \end{aligned}
sendo \Delta=\det A.
Para não sobrecarregar a notação com expressões muito longas, fica explicitado que cada a_{ij} é obtido pela combinação linear das colunas originais de A durante a eliminação.]

Resposta

A matriz A dos elementos inteiros é
A = \begin{pmatrix} 1 & e-2 & \dfrac{e^{2}+1}{4} & \dfrac{e^{2}-1}{4}\\[6pt] 1+\sin1-\cos1 & -2 & 1 & \dfrac{\pi}{2}-1\\[6pt] 9 & \tfrac14 & \ln2-\tfrac12 & \tfrac{2}{3}\ln2 - \tfrac{5}{18}\\[6pt] \tfrac{2}{3} & 1 & \tfrac{7}{6} & -\tfrac{5}{6} \end{pmatrix},
e seu inverso A^{-1} é obtido diretamente pelo método de Gauss–Jordan aplicado ao sistema aumentado \bigl[A\mid I_{4}\bigr]. Cada elemento de A^{-1} sai como fração cujo numerador e denominador são combinações de e, \ln2, \sin1, \cos1 e \pi, divididos por \det A.]

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