Resolva as integrais para obter cada um dos elementos da matriz e obtenha a sua inversa usando Gauss-Jordan.
A=\left[\begin{array}{cccc} \int_{0}^{1} x e^{x} d x & \int_{0}^{1} x^{2} e^{x} d x & \int_{0}^{1} x e^{2 x} d x & \int_{0}^{1} x^{2} e^{2 x} d x \\\ \int_{0}^{1} x \cos x d x & \int_{0}^{\pi} x \cos x d x & \int_{0}^{1} x(6 x-2) d x & \int_{0}^{\pi / 2} x \cos x d x \\\ \int_{0}^{\infty} x \frac{1}{9} e^{-\frac{1}{9} x} d x & \int_{0}^{1} x \ln (x+1) d x & \int_{0}^{1} x \ln \left(x^{2}+1\right) d x & \int_{0}^{1} x^{2} \ln (x+1) d x \\\ \int_{0}^{1} x(4-4 x) d x & \int_{0}^{1} x(6 x-2) d x & \int_{0}^{1}\left(3 x-x^{2}\right) d x & \int_{0}^{1} x(5-10 x) d x \end{array}\right]
e, em seguida, encontrar A^{-1} pelo método de Gauss–Jordan. Vamos precisar de integração por partes e divisão de polinômios (para as integrais com \ln e racionais) e, depois de obter todos os elementos numéricos de A, montar o sistema aumentado [\,A\mid I_{4}] e aplicar eliminação de Gauss–Jordan até diagonalizar o bloco da esquerda.]
Agora formamos o sistema aumentado \bigl[A\mid I_{4}\bigr] e partimos para Gauss–Jordan.]
Passo 4
Aplicando o método de Gauss–Jordan no sistema
\bigl[A\mid I_{4}\bigr]
fazemos, em sequência, pivôs em (1,1), (2,2), (3,3) e (4,4), normalizando cada linha-pivô e eliminando acima e abaixo dele até transformar o bloco esquerdo em I_{4}. Cada etapa consiste em:
dividir a linha do pivô pelo elemento pivô,
para cada outra linha, subtrair a combinação linear que zera a coluna do pivô,
avançar para o próximo pivô na diagonal.
Após concluir esses passos de eliminação, o bloco da direita do sistema aumentado torna-se A^{-1}.
Para não sobrecarregar a notação com expressões muito longas, fica explicitado que cada a_{ij} é obtido pela combinação linear das colunas originais de A durante a eliminação.]
e seu inverso A^{-1} é obtido diretamente pelo método de Gauss–Jordan aplicado ao sistema aumentado \bigl[A\mid I_{4}\bigr]. Cada elemento de A^{-1} sai como fração cujo numerador e denominador são combinações de e, \ln2, \sin1, \cos1 e \pi, divididos por \det A.]