1. Foram realizadas 12 determinações da densidade ( ) de certo metal, obtendo-se os resultados
19,0 19,3 19,1 19,3 19,2 19,4
19,2 19,3 19,2 19,0 19,5 19,3
Estimar a variância e o desvio padrão da verdadeira densidade através de um I. C. de 95%.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos n=12 medidas da densidade (em g/cm^3)
19,0; 19,3; 19,1; 19,3; 19,2; 19,4; 19,2; 19,3; 19,2; 19,0; 19,5; 19,3.
Queremos estimar a variância sigma^2 e o desvio padrão sigma da verdadeira densidade, construindo um intervalo de confiança de 95%. O conteúdo principal é a estimativa para variância de população normal, usando a distribuição chi^2.

Passo 2

Calcular a média amostral e a variância amostral:
bar x = 1nsumi=1^n xi, s^2 = 1n-1sumi=1^n (xi-bar x)^2
Somando os valores, sum xi = 230,8, logo
bar x = 230,812 = 19,2333
A soma dos quadrados dos desvios deu
sum (xi-bar x)^2 = 0,24658,
portanto
s^2 = 0,2465811 = 0,022415, s = raiz0,022415 = 0,1497

Passo 3

O intervalo de confiança de 95% para sigma^2 é dado por
l((n-1)s^2chi^21-alpha/2,;n-1,;(n-1)s^2chi^2alpha/2,;n-1r),
com n-1=11, alpha=0,05,
chi^20.975,11=21,920 e chi^20.025,11=3,816. Assim,
sigma^2in l(11cdot0,02241521,920,; 11cdot0,0224153,816r) =(0,01125,;0,06458)

Passo 4

Para o desvio padrão sigma, aplicamos raiz em cada extremidade:
sigmain l(raiz0,01125,;raiz0,06458r) =(0,1060,;0,2541)

Resposta

Variância: sigma^2in(0,01125,;0,06458)
Desvio padrão: sigmain(0,1060,;0,2541)

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