Uma força de 13 N é necessária para manter uma mola presa a uma massa de 2 kg esticada
além de seu comprimento natural. A constante de amortecimento da mola é
.
Faça o gráfico da função posição da massa.
Faça o gráfico da função posição da massa.
Passo 1
O problema envolve uma massa de 2 kg presa a uma mola amortecida que, ao ser esticada 0,25 m, fica em equilíbrio sob uma força de 13 N. Vamos modelar como um oscilador harmônico amortecido e achar x(t).
Passo 2
Para achar a constante elástica k usamos a Lei de Hooke em equilíbrio estático, ou seja, força igual a k·x:
Passo 3
Montamos a equação de movimento da mola amortecida (2ª ordem): massa vezes aceleração mais amortecimento mais força elástica igual a zero. Assim:
Substituindo m=2 kg, c=8 e k=52:
Dividindo tudo por 2:
Passo 4
Para resolver, achamos as raízes da característica:
O discriminante é negativo (Δ = 16–104 = –88), logo raízes complexas:
Isso significa regime subamortecido (oscilatório).
Passo 5
A solução geral é
Como tipicamente soltamos a partir do repouso na posição alongada, usamos as condições iniciais x(0)=0,25 m e x’(0)=0:
- De x(0)=0,25 ⇒ A=0,25
- De x’(0)=0 ⇒ –2A + B\sqrt{22} = 0 ⇒ B = \frac{2A}{\sqrt{22}} = \frac{0,5}{\sqrt{22}}.
Passo 6
Substituindo A e B obtemos a posição no tempo:
Passo 7
O gráfico de x(t) é uma senoide amortecida: oscila com frequência angular
rad/s e amplitude decaindo exponencialmente com razão
.
Resposta
A posição da massa ao longo do tempo é
$$x(t) = e^{-2t}\Bigl(0{,}25\cos(\sqrt{22},t) + \frac{0{,}5}{\sqrt{22}}\sin(\sqrt{22},t)\Bigr).
$$
O gráfico correspondente é uma oscilação senoidal com frequência angular aproximadamente 4,69 rad/s cuja amplitude decresce exponencialmente como
, gerando as clássicas “pulses” de um movimento subamortecido.