Uma força de 13 N é necessária para manter uma mola presa a uma massa de 2 kg esticada 0,25 m além de seu comprimento natural. A constante de amortecimento da mola é c=8.
Faça o gráfico da função posição da massa.

Passo 1

O problema envolve uma massa de 2 kg presa a uma mola amortecida que, ao ser esticada 0,25 m, fica em equilíbrio sob uma força de 13 N. Vamos modelar como um oscilador harmônico amortecido e achar x(t).

Passo 2

Para achar a constante elástica k usamos a Lei de Hooke em equilíbrio estático, ou seja, força igual a k·x:
k = Fx = 130,25 = 52 N/m

Passo 3

Montamos a equação de movimento da mola amortecida (2ª ordem): massa vezes aceleração mais amortecimento mais força elástica igual a zero. Assim:
m,x'' + c,x' + k,x = 0
Substituindo m=2 kg, c=8 e k=52:
2x'' + 8x' + 52x = 0
Dividindo tudo por 2:
x'' + 4x' + 26x = 0

Passo 4

Para resolver, achamos as raízes da característica:
r^2 + 4r + 26 = 0
O discriminante é negativo (Δ = 16–104 = –88), logo raízes complexas:
r = -2 pm iraiz22
Isso significa regime subamortecido (oscilatório).

Passo 5

A solução geral é
x(t) = e^-2tl(Acos(raiz22,t) + Bsin(raiz22,t)r)
Como tipicamente soltamos a partir do repouso na posição alongada, usamos as condições iniciais x(0)=0,25 m e x’(0)=0:
  • De x(0)=0,25 ⇒ A=0,25
  • De x’(0)=0 ⇒ –2A + B\sqrt{22} = 0 ⇒ B = \frac{2A}{\sqrt{22}} = \frac{0,5}{\sqrt{22}}.

Passo 6

Substituindo A e B obtemos a posição no tempo:
x(t) = e^-2tl(0,25cos(raiz22,t) + 0,5raiz22sin(raiz22,t)r)

Passo 7

O gráfico de x(t) é uma senoide amortecida: oscila com frequência angular raiz22approx4,69 rad/s e amplitude decaindo exponencialmente com razão e^-2t.

Resposta

A posição da massa ao longo do tempo é
$$x(t) = e^{-2t}\Bigl(0{,}25\cos(\sqrt{22},t) + \frac{0{,}5}{\sqrt{22}}\sin(\sqrt{22},t)\Bigr).
$$
O gráfico correspondente é uma oscilação senoidal com frequência angular aproximadamente 4,69 rad/s cuja amplitude decresce exponencialmente como x(t) = e^-2tl(0,25cos(raiz22,t) + 0,5raiz22sin(raiz22,t)r) , gerando as clássicas “pulses” de um movimento subamortecido.

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