Se a, b, e c são as raízes do polinômio p(x)=x^3-5 x^2+2 x+8, tais que a=-2 b c, o valor de ab+ac
d) 3

Passo 1

O enunciado pede para achar ab+ac, sabendo que a,b,c são as raízes de p(x)=x^3-5x^2+2x+8 e que a=-2bc. Vamos usar Vieta para uma cúbica.

Passo 2

Pela fórmula de Vieta em uma cúbica x^3+px^2+qx+r com raízes a,b,c temos:
a+b+c=5,
ab+ac+bc=2,
abc=-8

Passo 3

Da relação dada a=-2bc segue
bc=- a2

Passo 4

Agora escrevemos ab+ac+bc em função de a:
ab+ac+bc=a(b+c)+bc=a(5-a)- a2
Igualando a 2:
a(5-a)- a2=2
Isso leva a
2a^2-9a+4=0

Passo 5

Resolvendo
a=9pmraiz81-324=9pm74,
ou seja a=4 ou a=tfrac12. Como tfrac12 não anula p(x), fica a=4.

Passo 6

Com a=4 temos
bc=- a2=-2,
b+c=5-a=1
Logo
ab+ ac=al(tfrac1b+tfrac1cr)=ab+cbc=41-2=-2

Resposta

-2

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