Resolva os seguintes problemas de valor inicial
(01) d sd t=12 t(3 t^2-1)^3, s(1)=3
(02) d^2 yd x^2=sec ^2 x, y(0)=1, y^prime(0)=0
(03) d yd t=e^t sin (e^t-2), y(ln 2)=0
(04) d yd t=1raiz1-t^2, y(0)=0

Passo 1

Neste exercício vamos resolver quatro problemas de valor inicial usando técnicas de integração direta, substituição e integração de equações de segunda ordem. Vamos precisar lembrar de como integrar potências, funções trigonométricas e usar as condições iniciais para determinar as constantes de integração.

Passo 2

Para o problema (01) temos dsdt=12t(3t^2-1)^3. Observe que a derivada de (3t^2-1)^4 é
ddt(3t^2-1)^4=4(3t^2-1)^3cdot6t=24t(3t^2-1)^3
Logo podemos reescrever
dsdt=12t(3t^2-1)^3=tfrac12ddt(3t^2-1)^4
Integrando em relação a t vem
s(t)=tfrac12(3t^2-1)^4+C
Impondo s(1)=3, temos tfrac12(3cdot1^2-1)^4+C=3 ou 8+C=3, logo C=-5.

Passo 3

No problema (02) temos y''=sec^2x. Integrando uma vez:
y'(x)=integralsec^2x,dx=tan x+C1
Para achar y(x) integramos de novo:
y(x)=integral(tan x+C1),dx=-ln|cos x|+C1x+C2
Usando y'(0)=0 tan0+C1=0 e C1=0. Depois y(0)=1 -ln|cos0|+C2=1 e C2=1.

Passo 4

No (03) temos dydt=e^tsin(e^t-2). Fazemos a substituição u=e^t-2, então du=e^t,dt e
integral e^tsin(e^t-2),dt=integralsin(u),du=-cos u+C
Voltando a t:
y(t)=-cos(e^t-2)+C
Como y(ln2)=0 e e^ln2-2=0, vem -cos0+C=0 ou -1+C=0, logo C=1.

Passo 5

No (04) temos dydt=1raiz1-t^2. Integramos diretamente:
y(t)=integral1raiz1-t^2,dt=arcsin(t)+C
Impondo y(0)=0 arcsin(0)+C=0 e C=0, portanto y(t)=arcsin(t).

Resposta

(01) s(t)=tfrac12(3t^2-1)^4-5
(02) y(x)=-ln|cos x|+1
(03) y(t)=1-cos(e^t-2)
(04) y(t)=arcsin(t)

Exercícios relacionados