Encontre a primitiva mais geral de cada uma das seguintes funções. (Verifique sua resposta derivando.)
f^prime(t)=t+1 / t^3, t>0, f(1)=6

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada (primitiva) de f′(t)=t+1/t³ para t>0, com a condição inicial f(1)=6. O conteúdo envolvido é o cálculo de primitivas usando a linearidade da integral e a regra de potência.

Passo 2

Pela linearidade da integral, temos:
integrall(t+t^-3r),dt=integral t,dt+integral t^-3,dt

Passo 3

Usando a regra de potência integral t^n,dt=t^n+1/(n+1) para n=1 e n=-3:
integral t,dt=t^22, integral t^-3,dt=t^-2-2=-12t^2

Passo 4

Somando os resultados e incluindo a constante arbitrária C, obtemos:
f(t)=t^22-12t^2+C

Passo 5

Para determinar C, usamos a condição inicial f(1)=6:
f(1)=1^22-12cdot1^2+C=0+C=6implies C=6

Resposta

A primitiva que satisfaz f(1)=6 é
f(t)=t^22-12t^2+6

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